1292：宠物小精灵之收服

【算法分析】

该问题为二维费用背包。精灵球数量、皮卡丘体力值都是费用。

题目说，如果一个野生小精灵让皮卡丘的体力小于等于0，那么无法收服该小精灵。也就是说当皮卡丘有m点体力时，最多可以消耗的体力为m-1点。在输入m后，先让m--，此时m表示最多可以消耗的体力值。

1. 状态定义

状态定义：dp[i][j][k]:在前i个野生小精灵中选择小精灵捕捉，最多使用j个精灵球，以及k点皮卡丘的体力值，能捕捉到的最多的小精灵的数量。

2. 状态转移方程

记：b[i]:收第i小精灵需要的精灵球数， d[i]:收服第i小精灵皮卡丘损失的体力值

子集1：如果捕捉第i小精灵，接下来需要在前i-1个小精灵中选择小精灵，最多使用j-b[i]个精灵球，皮卡丘最多消耗k-d[i]点体力值，在这种情况下能够捕捉到的小精灵数量最多为dp[i-1][j-b[i]][k-d[i]]，加上刚刚捉到的1只，所以dp[i][j][k] = dp[i-1][j-b[i]][k-d[i]]+1

子集2：如果不捕捉第i小精灵，接下来需要在前i-1个野生小精灵中选择，最多使用j个精灵球，以及k点皮卡丘的体力值，可以捕捉到的小精灵数量最多为dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k]

以上两种情况取最大值

3. 获取剩余体力

第二个问要求的是，在收服最多小精灵的前提下，皮卡丘可以剩余的最多体力。

假设最多有n个精灵球，皮卡丘最多可以消耗m点体力（这是m--后的m，实际总体力值为m+1），一共有ka个野生小精灵。那么在所有野生小精灵中，选择要捕获的小精灵，最多消耗n个精灵球和m点皮卡丘的体力，能获得的最多的小精灵的数量为dp[ka][n][m]。如果不消耗m点体力，而是消耗k点皮卡丘的体力(0 ≤ k ≤ m 0\le k \le m0≤k≤m)，看在捕获的小精灵数量相同的情况下，k最小可以是几。也就是说，在所有小精灵中选择小精灵捕获，消耗n个精灵球，要捕获数量为dp[ka][n][m]的小精灵，皮卡丘最少消耗的体力可以是多少。

k从0遍历到m，如果dp[ka][n][k] == dp[ka][n][m]，那么最少消耗k点体力，就可以捕获到最多的小精灵。剩下的体力值应该为m+1-k（因为m是最多可以消耗的体力值，总体力值实际为m+1）。

4. 复杂度优化

根据该题的描述，dp[i][j][k]第1维是小精灵数量，最大100；第2维是精灵球个数，最大1000；第3维是皮卡丘体力值，最大500。乘在一起为这个三维数组的最大变量数，为5 ∗ 1 0^7，内存空间限制为65535KB，65535 ∗ 1024 / 4 = 16776960，最多可以保存约1.67 ∗ 1 0^7 个int类型的变量。如果直接声明三维数组使用，一定会内存超限。因此对于该题，必须做滚动数组优化，去掉表示前几个小精灵的第一维。

【参考代码】

#include 
using namespace std;
int dp[1005][505];//dp[i][j][k]:(第一维i被优化掉）前i个野生小精灵中最多使用j个精灵球，k点皮卡丘的体力值，能捕捉到的最大小精灵数量。 
int b[105], d[105];//b[i]:收第i小精灵需要的精灵球球数 d[i]:收第i小精灵皮卡丘损失的体力值 
int main()
{
    int n, m, ka, r;
    cin >> n >> m >> ka;//n个精灵球 皮卡丘m点体力值 野生小精灵有ka个 
    m--;//不能把m点体力值都用完，最多可以使用m-1点体力 
    for(int i = 1; i <= ka; ++i)
        cin >> b[i] >> d[i];
    for(int i = 1; i <= ka; ++i)
        for(int j = n; j >= b[i]; --j)
            for(int k = m; k >= d[i]; --k)
                dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j-b[i]][k-d[i]]+1);
    for(int k = 0; k <= m; ++k)//用掉的体力值可以为0，从0开始遍历 
    {
        if(dp[n][k] == dp[n][m])
        {
            r = m + 1 - k ;//原总体力值为m+1，减去用掉的体力j 
            break;
        }   
    }
    cout << dp[n][m] << ' ' << r;
    return 0; 
}