完美滤波器
完美滤波器
如下图所示，第 j j j级为输入图像，其中第 j − 1 j-1 j−1级为第 j j j级的尺寸减半的存在，直至为 1 × 1 1\times 1 1×1 的大小，这样的模式被称为图像金字塔
设原图像像素点个数为 N 2 N^2 N2，则图像金字塔的总像素个数为
N 2 ( 1 + 1 ( 4 ) 1 + 1 ( 4 ) 2 + ⋯ + 1 ( 4 ) P ) ⩽ 4 3 N 2 N^{2}\left(1+\frac{1}{\left(4\right)^{1}}+\frac{1}{\left(4\right)^{2}}+\cdots+\frac{1}{\left(4\right)^{P}}\right){\leqslant}\frac{4}{3}N^{2} N2(1+(4)11+(4)21+⋯+(4)P1)⩽34N2
对于图像金字塔建模，设第 j j j级为图像降低分辨率后的近似图像，这可以视为由第 j + 1 j+1 j+1 级图像经过滤波操作和下采样实现后的存在，则第 j + 1 j+1 j+1级可以视为第 j j j级经过上采样和插值操作后的存在，即如下图所示：
其中对图像进行上采样操作，索引所对应的值为：
f 2 ↑ ( n ) = { f ( n / 2 ) , n 为偶数 0 , 其他 f_{2\uparrow}(n)=\begin{cases}f(n/2),&\quad n\text{为偶数}\\\quad0,&\quad\text{其他}\end{cases} f2↑(n)={f(n/2),0,n为偶数其他
图像进行下采样操作，索引所对应的值为：
f 2 ↓ ( n ) = f ( 2 n ) f_{2\downarrow}(n)=f(2n) f2↓(n)=f(2n)
上采样可看成是在序列中的每一个样本后插人 0; 下采样可看成是每隔一个样本丢弃一个样本。
设存在输入信号 f ( n ) f(n) f(n)，其中 h 0 ( n ) h_0(n) h0(n)与 h 1 ( n ) h_1(n) h1(n) 分别为低通与高通滤波器，并输入信号一分为二，如下图所示
并经过下采样得到 f l p ( n ) f_{lp}(n) flp(n)与 f h p ( n ) f_{hp}(n) fhp(n)。然后经过上采样，与滤波 g 0 ( n ) g_0(n) g0(n)和 g 1 ( n ) g_1(n) g1(n)并将信号 f l p ( n ) f_{lp}(n) flp(n)与 f h p ( n ) f_{hp}(n) fhp(n)合并得到信号 f ^ ( n ) \hat f(n) f^(n)，若 f ^ ( n ) \hat f(n) f^(n)与 f ( n ) f(n) f(n)相等，可以称为采用了完美滤波。
存在一个Z变换:
X ( z ) = ∑ − ∞ ∞ x ( n ) z − n X(z)=\sum_{-\infty}^\infty x(n)z^{-n} X(z)=−∞∑∞x(n)z−n
其中离散傅里叶变换是Z变换的一个特殊形式，即 z = e j w z=e^{jw} z=ejw
若对z变换采用下采样，则可以得到:
x d o w m ( n ) = x ( 2 n ) ⟺ X d o w m ( z ) = 1 2 [ X ( z 1 2 ) + X ( − z − 1 2 ) ] x_{\mathrm{dowm}}(n)=x(2n)\iff X_{\mathrm{dowm}}(z)=\frac{1}{2}[X(z^{\frac{1}{2}})+X(-z^{-\frac{1}{2}})] xdowm(n)=x(2n)⟺Xdowm(z)=21[X(z21)+X(−z−21)]
若对z变换采用上采样，则可以得到:
x u p ( n ) = { x ( n / 2 ) n = 0 , 2 , 4 , ⋯ 0 其他 ⟺ X u p ( z ) = X ( z 2 ) \left.x^\mathrm{up}(n)=\left\{\begin{matrix}x(n/2)&n=0,2,4,\cdots\\0&\text{其他}\end{matrix}\right.\right.\Longleftrightarrow X^\mathrm{up}(z)=X(z^2) xup(n)={x(n/2)0n=0,2,4,⋯其他⟺Xup(z)=X(z2)
先对信号进行下采样然后进行上采样可得：
X ^ ( z ) = 1 2 [ X ( z ) + X ( − z ) ] \hat{X}(z)=\frac{1}{2}[X(z)+X(-z)] X^(z)=21[X(z)+X(−z)]
根据z变换的逆变换可得：
Z − 1 [ X ( − z ) ] = ( − 1 ) n x ( n ) Z^{-1}[X(-z)]=(-1)^{n}x(n) Z−1[X(−z)]=(−1)nx(n)
在根据完美滤波原理：
X ^ ( z ) = 1 2 [ H 0 ( z ) X ( z ) + H 0 ( − z ) X ( − z ) ] G 0 ( z ) + 1 2 [ H 1 ( z ) X ( z ) + H 1 ( − z ) X ( − z ) ] G 1 ( z ) = 1 2 [ H 0 ( z ) G 0 ( z ) + H 1 ( z ) G 1 ( z ) ] X ( z ) + 1 2 [ H 0 ( − z ) G 0 ( z ) + H 1 ( − z ) G 1 ( − z ) ] X ( − z ) \begin{aligned} \hat{X}(z)&=\frac{1}{2}[H_0(z)X(z)+H_0(-z)X(-z)]G_0(z)\\ &+\frac{1}{2}[H_1(z)X(z)+H_1(-z)X(-z)]G_1(z)\\ &=\frac{1}{2}[H_0(z)G_0(z)+H_1(z)G_1(z)]X(z)\\ &+\frac{1}{2}[H_0(-z)G_0(z)+H_1(-z)G_1(-z)]X(-z) \end{aligned} X^(z)=21[H0(z)X(z)+H0(−z)X(−z)]G0(z)+21[H1(z)X(z)+H1(−z)X(−z)]G1(z)=21[H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)]X(z)+21[H0(−z)G0(z)+H1(−z)G1(−z)]X(−z)
为了实现完美滤波则，应存在
H 0 ( − z ) G 0 ( z ) + H 1 ( − z ) G 1 ( z ) = 0 H 0 ( z ) G 0 ( z ) + H 1 ( z ) G 1 ( z ) = 2 \begin{aligned}H_0(-z)G_0(z)+H_1(-z)G_1(z)&=0\\\\H_0(z)G_0(z)+H_1(z)G_1(z)&=2\end{aligned} H0(−z)G0(z)+H1(−z)G1(z)H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=0=2
即：
[ H 0 ( z ) H 1 ( z ) H 0 ( − z ) H 1 ( − z ) ] × [ G 0 ( z ) G 1 ( z ) ] = [ 2 0 ] \begin{bmatrix}H_0(z)&H_1(z)\\H_0(-z)&H_1(-z)\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}G_0(z)\\G_1(z)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix} [H0(z)H0(−z)H1(z)H1(−z)]×[G0(z)G1(z)]=[20]
利用克拉默法则可得
[ G 0 ( z ) G 1 ( z ) ] = 2 det ( H m ( z ) ) [ H 1 ( − z ) − H 0 ( − z ) ] \left.\left[\begin{array}{c}{G_{0}(z)}\\{G_{1}(z)}\\\end{array}\right.\right]=\frac{2}{\det(\mathbf{H}_{m}(z))}\begin{bmatrix}{H_{1}(-z)}\\{-H_{0}(-z)}\\\end{bmatrix} [G0(z)G1(z)]=det(Hm(z))2[H1(−z)−H0(−z)]
其中 det ( H m ( z ) ) = α z − ( 2 k + 1 ) \det(H_m(z))=\alpha z^{-(2k+1)} det(Hm(z))=αz−(2k+1)，忽略时延，并令 α = 2 \alpha=2 α=2，可得
即当 g 0 ( n ) = ( − 1 ) n h 1 ( n ) , g 1 ( n ) = ( − 1 ) n + 1 h 0 ( n ) g_0(n)=(-1)^nh_1(n),g_1(n)=(-1)^{n+1}h_0(n) g0(n)=(−1)nh1(n),g1(n)=(−1)n+1h0(n)或 g 0 ( n ) = ( − 1 ) n + 1 h 1 ( n ) , g 1 ( n ) = ( − 1 ) n h 0 ( n ) g_{0}(n)=\left(-1\right)^{n+1}h_{1}(n),g_{1}(n)=\left(-1\right)^{n}h_{0}(n) g0(n)=(−1)n+1h1(n),g1(n)=(−1)nh0(n)时，成立
其中 g 0 g_0 g0与 g 1 g_1 g1分别由 h 1 h_1 h1和 h 0 h_0 h0调制得到
因为 H 0 ( z ) G 0 ( z ) + H 1 ( z ) G 1 ( z ) = 2 H_0(z)G_0(z)+H_1(z)G_1(z)=2 H0(z)G0(z)+H1(z)G1(z)=2
所以存在：
∑ k g 0 ( k ) h 0 ( n − k ) + ( − 1 ) n ∑ k g 0 ( k ) h 0 ( n − k ) = 2 δ ( n ) \sum_kg_0(k)h_0(n-k)+(-1)^n\sum_kg_0(k)h_0(n-k)=2\delta(n) k∑g0(k)h0(n−k)+(−1)nk∑g0(k)h0(n−k)=2δ(n)
其中 δ ( n ) \delta(n) δ(n)为单位脉冲函数
当n为奇数时将会出现相消得情况，于是可以简化为
∑ k g 0 ( k ) h 0 ( 2 n − k ) = < g 0 ( k ) , h 0 ( 2 n − k ) > = δ ( n ) \sum_kg_0(k)h_0(2n-k)=
可以看成两个向量的内积，同理存在
< g 1 ( k ) , h 1 ( 2 n − k ) > = δ ( n ) < g 0 ( k ) , h 1 ( 2 n − k ) > = 0 < g 1 ( k ) , h 0 ( 2 n − k ) > = 0 \begin{aligned}&
即 h 0 ( n ) , h 1 ( n ) , g 0 ( n ) 和 g 1 ( n ) h_{0}(n),h_{1}(n),g_{0}(n)\text{和 }g_{1}(n) h0(n),h1(n),g0(n)和 g1(n)满足双正交
即
< h i ( 2 n − k ) , g j ( k ) > = δ ( i − j ) δ ( n ) i , j = { 0 , 1 }