我与所教的同学，有时会有很认真的邮件往来。我忍不住会解释自己的一些想法，事后看来，往往还是真诚而深入的表达。我打算，把这些不定期的拿出来，作为自己的一个见证。有些想法和做法，也许我会改变，那也很好，说明我还有可塑性，哈哈。
2018-2019学年的第二学期（夏季），我教了北大城环、心理几个院系的“高数C"。通常，这是一门要求不太高的课，并不指望学生在数学上深入理解。而我异想天开，想尝试闻名已久的”学思达“模式（一种翻转课堂的教学模式），虽然学艺不精，没好意思用这个名头，很多设计是取法于此。实际效果比较尴尬，甚至可以说是失败的。为此我也很长时间没有勇气去认真回顾。
昨晚一位同学的来信，又让我重拾旧梦，看到我当时的热情和价值观，现在也一样没变。
下面的邮件1，是去年他最早给我的邮件，邮件2是我当时的回复，邮件3是昨天他的来信。
-----邮件1-----
发送时间:2019-04-04 22:37:12 (星期四)
收件人: 马翔@math.pku.edu.cn
马翔老师：
您好！
这封邮件还是提供一些反馈吧，如果措辞有不合适的地方还请您见谅。
个人认为小测的题目出得非常好，合乎高数C的课程要求（虽然没考几分...）。没太大意义的是画二元函数的草图，这种事情应该交给机器做吧...一般人很难画出立体感...好多同学说考这个题想退课（笑）...另外赋分不太合理，后面做x,y到u,v的变换，思维和运算难度都比前面大，赋分过少了吧。最后附加的5分讲起来有点莫名其妙，按时交卷本来就是考生的义务，高考中要是敲钟后不立刻停笔就会被判作弊。为此加分恐怕不是一个正当的理由，并且还把义务色彩给淡化了。
第14次的课件是14次里最有指导价值的...讲完概念还是加一些题比较好。我是习惯把书上习题都做出来，上学期还用蓝色的《高等数学解题指南》。但是有些同学只会做老师布置的，老师要是不布置，等于放任自流，对他们是不利的。
我在黑板上求圆的体积，然后您在下面批注圆盘disk和圆周边缘circle。我记得然后特地查了一下，圆直接定义为平面上的点集，circle可以直接翻译为圆，而disk没有普遍统一的译法，包括圆盘、圆面等等。
四是关于体积V=Sh的争论。大部分内容我都没听懂。体积的概念怎样被发现、提出和定义，最好的理解应该从数学史中寻找，比如Carl.B.Boyer的A History of Mathematics中译版（只看了一点）。我想欧几里得提出公理化方法就是把一些东西统一定义了，不必争论。在wikipedia上查到的volume直接定义为三重积分。争论什么面积具有的性质颠倒顺序了，面积一经定义才能具有特定性质。
感觉您是真的在教我们做学问。北大正因为这种精神才能延续下去。课程要按学生的能力和需求来做，求知求真是要贯穿始终的。
此致
敬礼！
18级城市与环境学院 xxx
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发件人:马翔@math.pku.edu.cn
发送时间:2019-04-06 22:32:18 (星期六)
收件人: [email protected]
xxx：你好。
非常感谢你详尽的表达意见，如此坦诚，令我感动。我在微信群中转发了你的邮件内容，给了回复，附在下面，请看。谢谢。
马翔
非常欣赏这位同学的直言不讳。下面我说说我的想法。有言在先：各位可以不同意我的看法；而我作为一位教师、一位有经验的长辈，依然愿意分享自己的偏见，对你们或许多少有一些启发，至少是一种高质量的“偏见”。
（一）关于画图这件事，当然可以交给机器做......很多事情都可以交给机器做......那么我们需要学什么东西，才不至于轻易被机器代替呢？画图，其实就是这样一件事，其中整合了我们对一个东西的核心理解和呈现方式。高质量的草图，类似于传神的漫画，不是相机或电脑可以代替的噢。（不过我课上指导得似乎还很不到位，周一课上我愿意再示范一次。）
（二）关于最后的5分题，也许有些同学觉得搞笑。实际情况是：以往我教课时每次考试，都有同学会拖延，很多人都会有意无意拖拉一下，导致交卷时的场面不太可控，而我也不喜欢当警察在一边催促和监督的感觉。于是我想从“制度/规则设计”上入手。实际效果很好，大家在45秒之内飞快交完，也没有同学有争议（最后有两人卡着60秒交的卷，我可以理解）。其实，看成是满分95的考试就好了；至于那5分背后的想法，不妨先搁着不多解释，也许这位同学将来的见解又会有所不同。归根结底，如何设计制度来应对人性，是社会科学的一个核心问题。我对此有所学习和思考，这次的设计算是一个小尝试。有兴趣探讨的同学，可以再聊，或者研究一下经济学、心理学、管理学等方面的东西。
（三）关于试题赋分，如果有人认为“难题就应该分值高”，至少我不同意这可以作为一条“公理”。实际上，赋分是一件很实际的事，我关心更多的是区分度以及激励效果。
（四）“争论什么面积具有的性质颠倒顺序了，面积一经定义才能具有特定性质”，这是一种象牙之塔的做学问方式，恰恰不是我想教给你们的，也不是你们将来发挥学习能力和创造能力的有效思维模式。在我看来，“面积”等等东西，是一种日常概念，有经验基础；数学家做的不是脱离常识，而是从常识中提炼出其“实质”，并以此给出定义。也就是说，不存在“先验”的定义，而只有后天理性再造的定义，而且需要接受各种检验。我认为，这是高数课程应该帮助大家建立的一种核心思维方式，就是“数学建模”。所建模型，必须合乎我关心的问题情境，抓住其中的核心要素，并能够给出合理的应用结果（这里的应用，含义可能是比较广泛的）。
很高兴这位同学课后会去查阅维基百科，作为参考资料，那是很有价值的。不过，这不等于我们的脑子就要成为这种“百科全书”的跑马场。如果那样，等于认为，学习就是输入过程，就是填鸭；那样的话，我们确实可以被电脑代替。鲜活的学习，恰好是追根究底、回顾日常经验、有意重建直觉、自觉考虑应用情境，并与其它概念和经验相联系。
此外，我觉得上周三课上发生的，似乎不该称之为“争论”，只是大家在尝试表述自己对面积和体积概念的理解，绝大部分时候，并没有矛盾，只是抓住的要点或侧面不同而已。
很感谢这位同学对我的肯定。其实我想分享的不只是“做学问”，还有做自觉的“（终身）学习者”，做一个把学习与生活打通的人。理念需要从生命的源泉里汲取营养，又用理性之光把世界照亮。数学是可以这样来学的！
---------邮件3-----------
发送时间:2020-01-13 14:07:33 (星期一)
收件人: 马翔@math.pku.edu.cn
主题: Re: Re: 20190404
马老师：
翻看邮件的时候偶然看到这封，我突然对上次面积的问题有了不同的认识。一直以来我对数学的愿望就是使用，只要承认定义使用结论便好。所以尽管我知道抽象定义在生活中必然有其具体来源，但是当时我并不关心。但是要学到数学的精髓乃至本质，关于怎么抽象（或者说建模），我觉得您的这种引导和讨论、整个建模过程，确有必要，极具启发，数院的专业课采取这种形式应该是很有意义的，但是单纯从高数C来说，可能超出课程的要求，也可能超出同学的理解能力。
and一件非常神奇的事，上学期的助教姐姐这学期居然是我们线代C的助教，真真真真巧...
18级城市与环境学院 xxx
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作一点说明：我当时为了让同学在考试完及时交卷，“搞笑”般地设计了一个5分题，要求学生在交卷时间到时后的一分钟内交卷，不然判罚5分。实际效果很好，不过还是有人不以为然（也许包括你）。
再补充一点：有时，自己陈义过高，实际又做不到。例如，回到知识的鲜活源头，是自己头脑中追求的理念。可实际做来，仍往往囿于惯有的教科书模式和套路，不能转换为“儿童视角”“学生视角”“心理学视角”；课堂和考试的思路和出题，会有很多惯性。好吧，接受我自己的局限性，我仍在继续努力。