【考研—密码学数论基础】环、群、域、多项式运算

注:下述笔记根据 学习通公开课程《数学的思维方式与创新》,部分内容并非严谨数学定义,个人理解居多。
注2:第一遍学的时候理解得太片面了,面试被问到了才意识到理解得有问题,特此重新更正

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理解一些问题

群?环?域?这些概念是在聊什么?它们都相当于是一种特殊的集合。

抽象代数中的加法?乘法?本质是:定义新运算。它其实不同于我们平时知道的乘法和加法,但在逻辑上有一些相似之处。

单位元:在集合中作乘法运算,类似于我们平时理解的“1”。
零元:在集合中作加法运算,类似于我们平时理解的“0”。
逆元:在集合中作乘法运算,类似于我们平时理解的“倒数1/x”。
负元:在集合中作加法运算,类似于我们平时理解的“相反数(-x)”。

零元,负元;单位元、逆元

零元:对于一个集合S,并定义该集合内的加法为(+)。如果集合内存在元素c,使得S内的任意元素a都符合等式:a+c=a,则称c为零元。

负元:如果一个定义了加法(+)的集合中存在零元c,且这个集合中存在两个元素a和b使得 a+b=c,则称元素a和b在这个集合中互为负元。
注:集合中的每个元素都有可能有负元,也可能没有负元。

单位元:对于一个集合S,并定义该集合中的乘法为()。如果集合内存在元素c,使得S内的任意元素a都符合等式ac=a,则称c为单位元。

逆元:如果一个定义了乘法()的集合内存在单位元c,且这个集合中存在两个元素a和b使得ab=c,则称元素a和b在这个集合中互为逆元。
注:集合中的每个元素都有可能有逆元,也可能没有逆元。
一个元素中有逆元的元素被称为:可逆元;否则被成为:不可逆元。

集合的划分

把 %m=0的所有数字放在第一个集合, %m=1的放在第二个集合…依次类推,所有的这些集合构成了整个实数域,这样的类似过程,称为集合的划分。

模m剩余类

把 %m=0的所有数字放在第一个集合, %m=1的放在第二个集合…依次类推,所有这样的集合统称为模m剩余类

封闭性

加法封闭性:集合A中任取元素a,b,记c=a+b,则一定有c∈A
乘法封闭性:集合A中任取元素a,b,记c=a*b,则一定有c∈A

※ 加法?乘法?

抽象代数中,对加法乘法的实际含义进行了抽象,即与我们传统意义上的加法和乘法并不相同,而是对其中逻辑的提炼。比如 a+b 中的 “+”我们可以理解为一种定义新运算。

一、群

定义

乘法: 支持某一种二元运算,将这一二元运算命名为该集合的乘法,也就是说,下面的乘法只是某一种二元运算的代指。
群: 在一个集合中,对于指定的乘法,存在单位元逆元,且该乘法符合结合律,则称这个集合为一个群。

性质

封闭性
结合律

特殊的群

交换群: 乘法符合交换律的群。(学过线性代数的我们就会知道,存在类似于矩阵乘法的运算,它们并不一定符合交换律)
循环群: 群G( p ) = { pk | k∈Z} 。 且称G( p ) 为由p生成的循环群
有限群: 如果群内元素有限,则称为有限群
有限群的阶: 群内元素的个数称为群的阶
无限群: 集合内元素有无限个

二、环

定义

对于一个非空集合内元素,支持两种代数运算,即 加法乘法 ,在这个集合内,
加法 满足交换群的要求【有零元(即群的单位元)、有负元(即群的逆元)、交换律、结合律】,
乘法 满足 半群的要求【封闭性、结合律,不一定有单位元和逆元】,
则称为这个集合为一个环。

性质

单位元一定不等于零元:有单位元e(≠0)的环R中,零因子一定不是可逆元
零因子: 如果 b≠0,存在某个a使得 ab=0,则称a为左零因子,如果ba=0,则称a为右零因子。

特殊环

交换环:如果环内元素符合乘法交换律,则可称为交换环
模m剩余类 是 有单位元e(≠0)的交换环
多项式环: 环内元素为多项式

三、域

定义

特殊的环:如果F是一个有单位元的交换环,且F中每个非零元都是可逆元,则称F是个域。
基于群的概念对域定义: 如果F支持 乘法加法两种二元运算,且对于乘法和加法来说都符合交换群的定义,且符合结合律,则称之为域。
例:模3剩余类、模5剩余类、模7剩余类…均为域。
反例:整数环不是域(因为他们的倒数并非整数)

性质/定理

  1. 最小的数域是:有理数域。
  2. 对于模m剩余环Zm,如果m是合数,则Zm不是域

简证:
如果m是合数,那么存在1 依次法可找到m所有因数对应的x的解,
从而得出这些x的乘积%m=0,即找到零元。
根据前文性质,零因子一定不可逆,所以找到了不可逆元素
==>Zm不是域

  1. 任给模m剩余环Zm内有整数a,如果a与m互质的整数,则a是可逆元,否则a不是可逆元

  2. 模m剩余环Zm内的每个元素a符合性质:如果a与m互质,则a为可逆元,否则a为零元

由4回证3成立(个人思路):
证明上述定理,分为两个部分
第一部分,即证:如果a,m不互质,则a为零元,所以a不可逆
即证:如果gcd(a,m)≠1,则存在正整数b, 1b % m = 0。
根据质因数分解表示法,则将m,a,c 分别表示为:
m = 2q1 x 3 q2 x 5q3 x 7q4 x …
a = 2a1 x 3 a2 x 5a3 x 7a4 x …
c = 2c1 x 3 c2 x 5c3 x 7c4 x …
前置性质1:如果 正整数 c%m =0, 则对于任意下标 i 均有 c[i] >= q[i]
前置性质2:如果正整数a与m不互质,则一定存在下标 i 符合:q[i] !=0 且 q[i] - a[i] < q[i]
设 存在 b%m ≠ 0,使得 ab = c, 即 ab%m = c%m = 0,即a为零元
则 a
b = 2a1+b1 x 3 a2+b2 x 5a3+b3 x 7a4+b4 x …
根据前置性质1, 对于任意下标 i 符合 a[i]+b[i]>=q[i]
根据前置性质2,存在下标 i 使得 b[i] >= q[i] - a[i] 则当取 所有与m不互质的质因子 对应的b[i] 均为q[i]-a[i],其余质因子对应的 b[i] 任意。可以符合上述所有条件。
符合 b % m !=0 的原因: 存在i 使得 b[i]=q[i]-a[i] 第二部分,即证:如果a,m互质,则a为零元。
同理。

  1. 如果P是一个质数,则模p剩余类Zp一定是一个域。
  2. 模m剩余域Zm的单位元为e,则任意正整数ne≠0或pe=0,其中p为某一素数,且n 记域Zm的特征为 p

常见域

实数域、矩阵(线代定义内的)。

三’'、有限域GF ( p )、GF(2^n)

1. 有限域 GF( p )

有限域GF( p ),其中p为素数。GF( p )里面的加法和乘法与一般的加法和乘法差不多,区别是结果需要mod p,以保证结果都是域中的元素。GF§的加法和乘法单位元分别是 0和1。
GF( p ) 加法是(a+b) mod p,乘法是(a*b)mod p。

2.有限域GF(2^n)

GF( p ) 中p必须是一个素数,才能保证集合中的所有元素都有加法和乘法逆元(0除外)。但实际应用中,很多场合需要 0到255这256个数字能组成一个域。但256不是素数,小于256的最大素数为251,如果直接把大于等于251的数截断为250,则会丢失一部分数据。
因此引入了GF(pw),其中p为素数,通常取p=2。计算机领域中经常使用的是GF(28),8刚好是一个字节的比特数。为了保证单位元性质,GF(2w)上的加法运算和乘法运算,不再使用一般的加法和乘法,而是使用多项式运算。

四、多项式运算

注1:笼统理解 其实多项式中所称的“域”,就是在告诉我们,这些性质不仅实数域成立,如果把所有的 x 视为 矩阵、视为x^n ,等等一系列具有域的特征的东西,下述内容都成立
注2: 0 = x -∞ , 所以 f(x)=0 视为 幂次为 -∞ 的多项式, f(x)= C ≠ 0 视为 幂次为 0 的多项式。

多项式四则运算方法 即 性质。

加减法: 对应幂次的对应系数相加减
乘法: 乘法分配律
除法:(学考研数学的话会学到的一个,技巧:试根法+竖式运算)
【考研—密码学数论基础】环、群、域、多项式运算_第1张图片

多项式的带余除法

多项式整除(相伴) : 对于多项式f(x)与g(x),如果在域内能找到 h(x) 使得 h(x) * f(x)= g(x),则称 g(x)可以被f(x)整除,并称 f(x)与g(x)相伴。
带余子式除法: 类比 整数的带余除法即可。

最大公因式

定义:

下记 g(x) f(x)的最大公因式 为 d(x)

  1. 首先是公因式。 即 d(x) | f(x) 且 d(x) | g(x)
  2. 最大 指幂次

性质:

根据整数带余除法形式 推得以下多项式带余除法形式
f(x) = h(x) * g(x) + r(x)
⇒ 易证:符合欧几里得(辗转相除法)

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