【考研—密码学数论基础】环、群、域、多项式运算

注：下述笔记根据 学习通公开课程《数学的思维方式与创新》，部分内容并非严谨数学定义，个人理解居多。
注2：第一遍学的时候理解得太片面了，面试被问到了才意识到理解得有问题，特此重新更正

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理解一些问题

群？环？域？这些概念是在聊什么？它们都相当于是一种特殊的集合。

抽象代数中的加法？乘法？本质是：定义新运算。它其实不同于我们平时知道的乘法和加法，但在逻辑上有一些相似之处。

单位元：在集合中作乘法运算，类似于我们平时理解的“1”。
零元：在集合中作加法运算，类似于我们平时理解的“0”。
逆元：在集合中作乘法运算，类似于我们平时理解的“倒数1/x”。
负元：在集合中作加法运算，类似于我们平时理解的“相反数(-x)”。

零元，负元；单位元、逆元

零元：对于一个集合S，并定义该集合内的加法为（+）。如果集合内存在元素c，使得S内的任意元素a都符合等式：a+c=a，则称c为零元。

负元：如果一个定义了加法（+）的集合中存在零元c，且这个集合中存在两个元素a和b使得 a+b=c，则称元素a和b在这个集合中互为负元。
注：集合中的每个元素都有可能有负元，也可能没有负元。

单位元：对于一个集合S，并定义该集合中的乘法为（）。如果集合内存在元素c，使得S内的任意元素a都符合等式ac=a，则称c为单位元。

逆元：如果一个定义了乘法（）的集合内存在单位元c，且这个集合中存在两个元素a和b使得ab=c，则称元素a和b在这个集合中互为逆元。
注：集合中的每个元素都有可能有逆元，也可能没有逆元。
一个元素中有逆元的元素被称为：可逆元；否则被成为：不可逆元。

集合的划分

把 %m=0的所有数字放在第一个集合， %m=1的放在第二个集合…依次类推，所有的这些集合构成了整个实数域，这样的类似过程，称为集合的划分。

模m剩余类

把 %m=0的所有数字放在第一个集合， %m=1的放在第二个集合…依次类推，所有这样的集合统称为模m剩余类

封闭性

加法封闭性：集合A中任取元素a,b，记c=a+b，则一定有c∈A
乘法封闭性：集合A中任取元素a,b，记c=a*b，则一定有c∈A

※ 加法？乘法？

抽象代数中，对加法和乘法的实际含义进行了抽象，即与我们传统意义上的加法和乘法并不相同，而是对其中逻辑的提炼。比如 a+b 中的 “+”我们可以理解为一种定义新运算。

一、群

定义

乘法： 支持某一种二元运算，将这一二元运算命名为该集合的乘法，也就是说，下面的乘法只是某一种二元运算的代指。
群： 在一个集合中，对于指定的乘法，存在单位元、逆元，且该乘法符合结合律，则称这个集合为一个群。

性质

封闭性
结合律

特殊的群

交换群： 乘法符合交换律的群。（学过线性代数的我们就会知道，存在类似于矩阵乘法的运算，它们并不一定符合交换律）
循环群： 群G( p ) = { p^k | k∈Z} 。 且称G( p ) 为由p生成的循环群
有限群： 如果群内元素有限，则称为有限群
有限群的阶： 群内元素的个数称为群的阶
无限群： 集合内元素有无限个

二、环

定义

对于一个非空集合内元素，支持两种代数运算，即 加法 和 乘法 ，在这个集合内，
加法 满足交换群的要求【有零元（即群的单位元）、有负元（即群的逆元）、交换律、结合律】，
乘法 满足 半群的要求【封闭性、结合律，不一定有单位元和逆元】，
则称为这个集合为一个环。

性质

单位元一定不等于零元：有单位元e(≠0)的环R中，零因子一定不是可逆元
零因子： 如果 b≠0，存在某个a使得 ab=0，则称a为左零因子，如果ba=0，则称a为右零因子。

特殊环

交换环：如果环内元素符合乘法交换律，则可称为交换环
模m剩余类 是 有单位元e(≠0)的交换环
多项式环： 环内元素为多项式

三、域

定义

特殊的环：如果F是一个有单位元的交换环，且F中每个非零元都是可逆元，则称F是个域。
基于群的概念对域定义： 如果F支持 乘法和加法两种二元运算，且对于乘法和加法来说都符合交换群的定义，且符合结合律，则称之为域。
例：模3剩余类、模5剩余类、模7剩余类…均为域。
反例：整数环不是域（因为他们的倒数并非整数）

性质/定理

1. 最小的数域是：有理数域。
2. 对于模m剩余环Zm，如果m是合数，则Zm不是域

简证：
如果m是合数，那么存在1 依次法可找到m所有因数对应的x的解，
从而得出这些x的乘积%m=0，即找到零元。
根据前文性质，零因子一定不可逆，所以找到了不可逆元素
==>Zm不是域

3. 任给模m剩余环Zm内有整数a，如果a与m互质的整数，则a是可逆元，否则a不是可逆元

4. 模m剩余环Zm内的每个元素a符合性质：如果a与m互质，则a为可逆元，否则a为零元

由4回证3成立（个人思路）：
证明上述定理，分为两个部分
第一部分，即证：如果a,m不互质，则a为零元，所以a不可逆。
即证：如果gcd(a,m)≠1，则存在正整数b, 1b % m = 0。
根据质因数分解表示法，则将m,a,c 分别表示为：
m = 2^q1 x 3 ^q2 x 5^q3 x 7^q4 x …
a = 2^a1 x 3 ^a2 x 5^a3 x 7^a4 x …
c = 2^c1 x 3 ^c2 x 5^c3 x 7^c4 x …
前置性质1：如果 正整数 c%m =0, 则对于任意下标 i 均有 c[i] >= q[i]
前置性质2：如果正整数a与m不互质，则一定存在下标 i 符合：q[i] !=0 且 q[i] - a[i] < q[i]
设 存在 b%m ≠ 0，使得 ab = c， 即 ab%m = c%m = 0，即a为零元
则 ab = 2^a1+b1 x 3 ^a2+b2 x 5^a3+b3 x 7^a4+b4 x …
根据前置性质1， 对于任意下标 i 符合 a[i]+b[i]>=q[i]
根据前置性质2，存在下标 i 使得 b[i] >= q[i] - a[i] 则当取 所有与m不互质的质因子 对应的b[i] 均为q[i]-a[i]，其余质因子对应的 b[i] 任意。可以符合上述所有条件。
符合 b % m !=0 的原因： 存在i 使得 b[i]=q[i]-a[i] 第二部分，即证：如果a,m互质，则a为零元。
同理。

5. 如果P是一个质数，则模p剩余类Zp一定是一个域。
6. 模m剩余域Zm的单位元为e，则任意正整数ne≠0或pe=0,其中p为某一素数，且n 记域Zm的特征为 p

常见域

实数域、矩阵（线代定义内的）。

三’'、有限域GF ( p )、GF(2^n)

1. 有限域 GF( p )

有限域GF( p )，其中p为素数。GF( p )里面的加法和乘法与一般的加法和乘法差不多，区别是结果需要mod p，以保证结果都是域中的元素。GF§的加法和乘法单位元分别是 0和1。
GF( p ) 加法是(a+b) mod p，乘法是(a*b)mod p。

2.有限域GF(2^n)

GF( p ) 中p必须是一个素数，才能保证集合中的所有元素都有加法和乘法逆元(0除外)。但实际应用中，很多场合需要 0到255这256个数字能组成一个域。但256不是素数，小于256的最大素数为251，如果直接把大于等于251的数截断为250，则会丢失一部分数据。
因此引入了GF(p^w)，其中p为素数，通常取p=2。计算机领域中经常使用的是GF(2⁸)，8刚好是一个字节的比特数。为了保证单位元性质，GF(2^w)上的加法运算和乘法运算，不再使用一般的加法和乘法，而是使用多项式运算。

四、多项式运算

注1：笼统理解 其实多项式中所称的“域”，就是在告诉我们，这些性质不仅实数域成立，如果把所有的 x 视为 矩阵、视为x^n ，等等一系列具有域的特征的东西，下述内容都成立
注2： 0 = x ^-∞ , 所以 f(x)=0 视为 幂次为 -∞ 的多项式， f(x)= C ≠ 0 视为 幂次为 0 的多项式。

多项式四则运算方法 即 性质。

加减法： 对应幂次的对应系数相加减
乘法： 乘法分配律
除法：（学考研数学的话会学到的一个，技巧：试根法+竖式运算）

多项式的带余除法

多项式整除（相伴） ： 对于多项式f(x)与g(x)，如果在域内能找到 h(x) 使得 h(x) * f(x)= g(x)，则称 g(x)可以被f(x)整除，并称 f(x)与g(x)相伴。
带余子式除法： 类比 整数的带余除法即可。

最大公因式

定义：

下记 g(x) f(x)的最大公因式 为 d(x)

1. 首先是公因式。 即 d(x) | f(x) 且 d(x) | g(x)
2. 最大 指幂次

性质：

根据整数带余除法形式 推得以下多项式带余除法形式
f(x) = h(x) * g(x) + r(x)
⇒ 易证：符合欧几里得（辗转相除法）