密码学学习笔记(二十二)：RSA签名方案

在RSA中，计算公钥的欧拉函数和私钥是关键步骤。

如何计算呢？

RSA算法中的是两个质数 p 和 q 的乘积。所以两个质数必须要找到。一旦找到 p 和 q就可以使用公式() = (p-1) (q-1)来计算。

计算私钥d

私钥 d 是满足 e*d ≡ 1 mod   的整数。换句话说，d 是 e 关于 ϕ(N) 的模逆元。这可以通过扩展欧几里得算法来计算。

如何单纯的使用数学的方法找到p和q呢？

p和q可以使用python代码找到。

from sympy import isprime, mod_inverse

# 给定值
N = 9999
e = 5

# 求 N 的素因数的函数
def find_prime_factors(N):
    for i in range(2, N):
        if N % i == 0 and isprime(i):
            p = i
            q = N // i
            if isprime(q):
                return p, q
    return None, None

# 找到 p和q
p, q = find_prime_factors(N)

# 计算 phi(N)
phi_N = (p - 1) * (q - 1)

# 计算 d
d = mod_inverse(e, phi_N)

p, q, phi_N, d

如果不想用代码呢？

可以使用比如试除法，费马分解法，轮换法等计算。

试除法

从最小的质数开始（比如2），检查它是否能整除，如果不能，继续尝试下一个质数（比如3、5、7...）。一旦找到一个质数 p 可以整除，那么 p 是的一个因子。一个因子 q 可以通过 q=/p 计算得到。接着验证q是不是质数，如果是的话，那么 p 和 q 就是要找的因子。

在RSA签名验证中，如何从给定的签名 σ 找回原始消息 M？

RSA签名验证的基本步骤是计算 ，其中 M 是原始消息。这个过程基于RSA算法的数学原理，所以就算只有公钥也可以验证签名的有效性。所以如果得到的值就可以得出M。

中国剩余定理（CRT）是怎么加快签名过程的？

在不使用CRT的情况下，RSA签名是计算 σ=MdmodN，其中 M 是消息。使用CRT时，签名过程如下：

1. 计算两个模数下的指数: ，
2. 分别在 p 和 q 下计算签名: ，
3. 使用CRT合并结果: 首先计算 

然后合并结果：

这个过程有效地将在 下的大数运算分解为在 p 和 q 下的更小更快的运算。因此，使用CRT可以显著加快RSA签名的速度。