【密码学】抽象代数——群（学习笔记）

群

1、运算及关系

运算的本质：两个元素经过一定的法则得到一个元素。（加减乘除）

运算的规律：交换律、结合律、分配律

交换律	ab=ba
结合律	a(bc)=(ab)c
分配律	a∘(b+c)=a∘b+a∘c

关系：非空集合A中对两个元素而言的一种性质，使A中任何两个元素，或有这种性质，或没有这种性质，二者必居其一。
例：关系为“>”，A中任意两个元素，或大于，或不大于。（总有属于一种）

等价关系：非空集合A中定义了关系R，若满足反射性、对称性、传递性，则称R为等价关系。

反射性	∀ a∈A, a R a
对称性	a R b ⇒ b R a
传递性	a R b, b R c ⇒ a R c

分类（划分）：设A为非空集合，A的一个划分是指A中一些子集合的集合，满足 ∀ a∈A，a包含且只包含在一个子集合中。（A中的一个划分就是将A写成一些不相交的非空子集合的并）

定理：A的一个分类决定A的一个等价关系。
定理：A中的一个等价关系决定A的一个分类。
等价关系⟺分类

等价关系：等价类、商集合、自然映射

同余关系：设A为非空集合，A中定义了二元运算“∘”，又定义了等价关系R，如果R和“∘”满足条件：a1 R b1, a2 R b2 ⇒ a1 ∘ a2 R b1 ∘ b2，则得R为“∘”的同余关系。

2、半群与群

群=非空集合+二元运算+性质

幺元和逆元

名称	定义
左幺元	半群G，若元素e∈G，满足∀a∈G，e∘a=a
右幺元	半群G，若元素e∈G，满足∀a∈G，a∘e=a
幺元（单位元）	e∈G既是a的左幺元，又是a的右幺元，e∘a=a∘e=a
左逆元	幺半群G，e为幺元，元素a’满足a’∘a=e
右逆元	幺半群G，e为幺元，元素a’满足a∘a’=e
逆元	b∈G既是a的左逆元，又是a的右逆元，b∘a=a∘b=e

幺半群中的幺元唯一。
群的任一元的逆元唯一。

群的定义

条件：

序号	名称
1	G对∘封闭
2	∘满足结合律：a∘(b∘c)=(a∘b)∘c
3	G存在幺元e：∀a∈G，e∘a=a∘e=a
3’	G存在左幺元e：∀a∈G，e∘a=a
3’’	G存在右幺元e：∀a∈G，a∘e=a
4	∀a∈G，存在逆元：∃b，使b∘a=a∘b=e
4’	∀a∈G，存在左逆元：∃b，使b∘a=e
4’’	∀a∈G，存在右逆元：∃b，使a∘b=e

第一种定义：1234
第二种定义：123’4’
第三种定义：123’’4’’

群的基本性质：
（1）群满足左右消去律：ab=ac ⇒ b=c
（2）群G对∀a,b∈G，方程ax=b、xa=b都有唯一解

第四种定义：半群G，若a,b∈G，方程ax=b、xa=b都有解，则G为群。
第五种定义：有限半群G，若满足左右消去律，则G为群。

总结：

名称	定义
半群	G为非空集合，G上有二元运算∘，满足结合律
幺半群	G为半群，有幺元e
群	G为幺半群，所有元素都可逆
交换群（Abel群）	G为群，且满足交换律

3、子群与商群

子群

G为群，(1) H⊆G,H≠∅，(2) H在G的运算构成群，则称H为G的子群，记为H。
其中，(2)H与G的运算一致 ⇒ ①G的幺元e，也在H中；②∀h∈H，h在G中的逆，也在H中（H满足四个条件）

条件等价：
(1) H
(2) ∀a,b∈H，ab∈H，a^(-1)∈H
(3) ∀a,b∈H，ab^(-1)∈H

性质	备注
H为群G的非空有限子集，则H	用消去律可证
H1	等价条件(3)⇒(1)可证

商群

a为代表元的H的一个左陪集、右陪集：

	G为群，H
左陪集	aH={ah / h∈H}
右陪集	Ha={ha / h∈H}
陪集	aH=Ha

分类：
H (1) 由 a R b ⟺ a^(-1)b∈H 所确定的关系R为等价关系，且
(2) a所在的等价类恰为以a为代表的H的左陪集aH，
故H的全体左陪集（重复的只取一个）的集合{aH}是G的一个分类。
推论：对a,b∈G，aH=bH ⟺ a^-1b∈H

左商集（或左陪集空间）：
{aH}构成的分类，商集合 G/R=G/H为G对H的左商集（或左陪集空间）。
（右商集类似）

指数：
H指数（左陪集元素的个数），记为[G:H]。

拉格朗日定理：
G为有限群，H|G|=[G:H]*|H|
推论：G为有限群，H

正规子群：
G为群，Hghg^-1∈H，称H为G的正规子群，记为H⊲G。
例：（1）平凡子群必为正规子群（补充：平凡子群：G和{e}）
（2）若G为Abel群，则任何子群均为正规子群

等价条件：
(1)H⊲G
(2)∀g∈G，gH=Hg
(3)∀g1,g2∈G，g1Hg2H=g1g2H

（其中，g1Hg2H={g1h1g2h2| h1,h2∈H};
对任何非空子集A,B⊆G，AB={ab|a∈A,b∈B}）

商群：
设H-1b∈H 是G的同余关系 ⟺ H⊲G，
这时G/H对诱导的运算（g1Hg2H=g1g2H）构成一个群，称为G对H的商群，记为G/H。
（商集和商群记号一样，但是有正规子群的条件为商群，否则为商集）

总结：

名称	定义
子群	G为群，(1) H⊆G,H≠∅，(2) H在G的运算构成群，则称H为G的子群，记为H
正规子群	G为群，Hghg-1∈H，称H为G的正规子群，记为H⊲G
商群	H同余关系 ⟺ H⊲G；这时G/H对诱导的运算构成一个群，称为G对H的商群，记为G/H

4、群的同态与同构

同构是分类的标准

同态：设{G1；⋅}，{G2；*}为群，f为G1到G2的映射，如果f(a⋅b)=f(a)*f(b)，∀a,b∈G1，称f为G1到G2的同态映射，简称同态。
若同态f为单射，称f为单同态；
若同态f为满射，称f为满同态；
若同态f为双射，则称f为同构，这时称G1与G2同构，记为G1≃G2。
同构：同态+单射+满射

补充：
单射：每个x都有唯一的y与之对应。
满射：每个y都必有至少一个x与之对应。
双射：每个x都有唯一的y与之对应，每个y都有唯一的x与之对应（单射且满射）

自然同态：H⊲G，π：G⟶G/H为自然映射，π为群的同态，称为自然同态。

同态的性质：
（1）设f：G1⟶G2，g：G2⟶G3为群同态，则gf：G1⟶G3为同态。
若f，g均为单同态（或满同态），则gf为单同态（或满同态）。
若f，g为同构，则gf为同构。
若f为同构，f^-1：G2⟶G1为同构。
（2）设f：G1⟶G2为群同态，则f(e1)⟶e2（ei为Gi的幺元），f(a^-1)=f(a)^-1
（3）设f：G1⟶G2为群同态，则f(G1)

核：设f：G1⟶G2为同态，定义ker f={a∈G|f(a)=e2}称为f的核。

核的性质：
（1）ker f ⊲ G1
（2）同态f：G1⟶G2为单同态 ⟺ ker f={e1}

群的同态基本定理：设f：G1⟶G2为满同态，则G1/ker f≃G2
推论：设f：G1⟶G2为群同态，则G1/ker f≃f(G1)

5、循环群

设G为群，若∃a∈G，使G={aⁿ | n∈Z}，则称G为循环群，记为G=< a >，称a为生成元。