前缀和C++超详细讲解（有例题）

前缀和

一维前缀和

如果我单说定义大家可能不理解，所以我打算拿一道例题-795. 前缀和开讲。

【 前缀和与差分】795. 前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l≤r≤n,
1≤n,m≤100000,
−1000≤数列中元素的值 ≤1000
输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

这道题如果你没有学过前缀和的话，会这么写：

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N];
int n, m, r, l, tot;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> l >> r;
        tot = 0;
        for(int j = l; j <= r; j++)
        {
            tot += a[j];
        }
        cout << tot << endl;
    }
    return 0;
}

这样的时间复杂度接近O()，会TLE的很惨，但是我们有没有想过用一个s数组，s[i]表示从1-i的a的和,s[i] = a[i] + s[i - 1]。想斐波那契数列一样，如下表：

	1	2	3	4	5
a[]	2	1	3	6	4
s[]	2	3	6	12	16

这样l-r的和就是s[r] - s[l - 1]的值了，时间复杂度瞬间减少，变成O(2 * n)。

代码如下：

#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], s[N];
int n, m, r, l;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = a[i] + s[i - 1];
    } 
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

到这里一维前缀和就已经讲完了，是不是觉得很简单，别急，难的来了——二维前缀和

二维前缀和

假设我们需要计算（x，y）的前缀和，如下图所示。

图中我们标注出三个点。

红色点表示（x，y）前缀和，用sum[x][y]表示。

蓝色表示（x，y-1）前缀和，用sum[x][y-1]表示。

黄色表示（x-1，y）前缀和，用sum[x-1][y]表示。

紫色表示（x-1，y-1）前缀和，用sum[x-1][y-1]表示。

假设第 i 行第 j 列对应的数组为，对应的二维前缀和为sum[i][j]。基于容斥原理，那么

sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i ][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]

代码如下，对应acwing796. 子矩阵的和

#include
const int N = 1010;
int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];
 
int main()
{  
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
             
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
    while (q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
    }
    return 0;
}

到这里，你已经学会了前缀和。谢谢你的阅读，欢迎点赞收藏关注转发！