已知关系模式R,其中:U = {A,B,C,D,E},F = {AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B}
求 ( A B ) F + {(AB)_F^+} (AB)F+
X ( 0 ) {X^{(0)}} X(0)=AB;
X ( 1 ) {X^{(1)}} X(1)=AB∪CD=ABCD;
X ( 2 ) {X^{(2)}} X(2)=ABCD∪E=ABCDE=U
所以 ( A B ) F + {(AB)_F^+} (AB)F+={A、B、C、D、E}
函数依赖F由以下依赖组成:{AC→PE、PG→A、B→CE、A→P、A→B、GC→A、PAB→G、AG→BG、ABCP→H},求 ( B G ) F + {(BG)_F^+} (BG)F+
X ( 0 ) {X^{(0)}} X(0)=BG;
X ( 1 ) {X^{(1)}} X(1)=BG∪CE=BGCE;
X ( 2 ) {X^{(2)}} X(2)=BGCE∪A=BGCEA;
X ( 3 ) {X^{(3)}} X(3)=BGCEA∪PE=ABCEGP=U
所以 ( B G ) F + {(BG)_F^+} (BG)F+={ABCEGP}
关系模式R(U,F)中,U={A,B,C,D,E,G},F={B→D,DG→C,BD→E,AG→B,ADG→BC};求F的最小函数依赖集。
STEP1
将右边化为单一属性:
B→D,DG→C,BD→E,AG→B,ADG→B,ADG→C
STEP2
去除冗余的函数依赖:
1.如果去除B→D, ( B ) F + {(B)_F^+} (B)F+={B}不包含D,所以不能去除;
2.去除DG→C, ( D G ) F + {(DG)_F^+} (DG)F+={D,G}不包含C,所以不能去除;
3.去除BD→E, ( B D ) F + {(BD)_F^+} (BD)F+={B,D}不包含E,所以不能去除;
4.去除AG→B, ( A G ) F + {(AG)_F^+} (AG)F+={A,G}不包含B,所以不能去除;
5.去除ADG→B, ( A D G ) F + {(ADG)_F^+} (ADG)F+={A,D,G,C,B,E}包含B,也就是说去除ADG→B之后得到的依赖集与之前的F等价,所以可以去除;
6.去除ADG→C, ( A D G ) F + {(ADG)_F^+} (ADG)F+={A,D,G,C,B,E}包含C,和ADG→B类似,所以可以去除;
所以最后F={B→D,DG→C,BD→E,AG→B}
STEP3
去除左边的冗余属性
1.DG→C
我们需要判断D或G是否是冗余的
先看D,如果D冗余,那么去掉D之后的依赖集应该与去掉之前的依赖集是等价的,则需要看F={B→D,DG→C,BD→E,AG→B}和F1={B→D,G→C,BD→E,AG→B}是否等价;
对于F1, ( G ) F + {(G)_F^+} (G)F+={G,C};对于F, ( G ) F + {(G)_F^+} (G)F+={G},不等价,因此D不是冗余属性;
再看G,判断F={B→D,DG→C,BD→E,AG→B}和F1={B→D,D→C,BD→E,AG→B}是否等价;
对于F1, ( D ) F + {(D)_F^+} (D)F+={D,C};对应F, ( D ) F + {(D)_F^+} (D)F+={D},不等价,因此D不是冗余属性;
所以DG→C已经是最简的;
2.BD→E
如果去除B,则F1和F中D的闭包分别为{D,E}和{D},不等价,因此B不冗余;
如果去除D,则F1和F中B的闭包分别为{B,E,D}和{B,D,E},等价,因此D是冗余的,可以去掉;
所以BD→E可以化简为B→E
3.AG→B
如果去除A,则F1和F中G的闭包分别为{G,B}和{G},不等价,因此A不冗余;
如果去除G,则F1和F中A的闭包分别为{A,B}和{A},不等价,G也不冗余;
所以AG→B是最简
综上,R的最小函数依赖集为F={B→D,DG→C,B→E,AG→B}
关系模式R(U,F)中,U={A,B,C,D,E},F={A→BC,B→CE,A→B,AB→C,AC→D};求F的最小函数依赖集。
STEP1
将右边化为单一属性:
A→B,A→C,B→C,B→E,AB→C,AC→D
STEP2
去除冗余的函数依赖:
1.如果去除A→B, ( A ) F + {(A)_F^+} (A)F+={A,C,D}不包含B,所以不能去除;
2.去除A→C, ( A ) F + {(A)_F^+} (A)F+={A,B,C,E}包含C,所以可以去除;
此时F={A→B,B→C,B→E,AB→C,AC→D}
3.去除B→C, ( B ) F + {(B)_F^+} (B)F+={B,E}不包含C,所以不能去除;
4.去除B→E, ( B ) F + {(B)_F^+} (B)F+={B,C}不包含E,所以不能去除;
5.去除AB→C, ( A B ) F + {(AB)_F^+} (AB)F+={A,B,C,D,E}包含C,所以可以去除;
此时F={A→B,B→C,B→E,AC→D}
6.去除AC→D, ( A C ) F + {(AC)_F^+} (AC)F+={A,B,C,E}不包含C,所以不能去除;
所以第二步之后F={A→B,B→C,B→E,AC→D}
STEP3
去除左边的冗余属性
判断A或C是否冗余
如果去除A,则F1和F中C的闭包分别为{C,D}和{C},不等价,因此A不冗余;
如果去除C,则F1和F中A的闭包分别为{A,B,C,D,E}和{A,B,C,D,E},等价,因此C是冗余的,可以去掉;
所以最后得到最小函数依赖集为F={A→B,B→C,B→E,A→D}