蓝桥杯 杨辉三角形【第十二届】【省赛】【B组】c++题解

题目：将杨辉三角的所有数从上到下，从左到右，排成一列，输入一个N，判断最早出现N是在第几个数。

思路：因为“从上到下，从左到右”，因此从三角形中间划一条垂线，则N一定位于左边。然后，我们发现从右上到左下的每一条斜行（将全是1的情况暂时忽略）都存在这样的规律：

【1】开头的数为C(2x,x)，x从1开始递增，例如2是C（2，1），6是C（4，2）。。。

【2】每一斜行的递增规律是C(2x++，x)，例如6是C（4，2），10是C（5，2）。。。

【3】我们可以发现例如数字6有两个，而我们想输出的是位置最靠上的，则我们只需从下面斜排开始往上找N就可以保证N的位置一定是最小的。因为N最大不超过10e9，而C（32，16）已经大于10e9了，因此从x为16的斜排开始循环找N（采用二分法去找）

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll C(ll b, ll a)//计算组合（b在下面，a在上面）
{
	ll sum = 1;

	for (ll i = b, j = 1; j <= a; i--, j++)
	{
		sum = sum * i / j;
		if (sum > n)return sum;//比目标数n大就直接return，减少循环次数
	}
	return sum;
}
bool judge(ll x)
{
	ll MIN = 2 * x;//每一个斜行的开头都是C(2x,x),从右上到坐下，2x逐渐＋1
	ll MAX = n;//这里令右边界为n，因为C（n,x）一定大于n
	ll mid;
	while (MAX > MIN)//对于从右上到左下的斜行进行二分
	{
		mid = MIN + MAX >> 1;//mid（相对于最小值MIN）为MIN和MAX中间的值
		if (C(mid, x) >= n)//说明n在[MIN,mid)中
		{
			MAX = mid;
		}
		else//说明n在[mid,MAX]中
		{
			MIN = mid + 1;
		}
	}
	//经过上面的while循环，MAX等于MIN，再判断C(MAX,x)等不等于n
	if (C(MAX, x) == n)//该斜行均为C（ ,x）
	{
		cout << (1 + MAX) * MAX / 2 + x + 1;//根据位置输出第几个数
		return true;
	}
	return false;
}
int main() {

	cin >> n;
	ll x;
	if (n == 1)cout << 1;
	else 
	{   //因为n最大是10e9，而C(32，16)更大，因此从16开始由下往上的斜行开始找
		for (x = 16; x >= 0; x--)
		{
			if (judge(x))break;
		}
	}

	return 0;
	system("pause");
}