多重背包问题

以下理解参考代码随想录

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1. 有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

2. 多重背包跟01背包的区别就在于01背包的物品数量都为1，而多重背包问题中的物品数量是个不定数，所以01背包是多重背包的一种特殊情况。

3. 比如现在有如下数量跟重量的物品，求容量为10的背包怎么装价值总和最大

4. 解决方法有两种，第一种是将多重背包问题转化成01背包问题，如何转化呢？就是把数量超过1的物品都摊开来，即上述问题转化为从7件数量为1的物品中取，求解将哪些物品装入容量为10的背包价值最大。

    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;

    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }

5. 另一种解法是，在常规的01背包代码的两层for循环中增加多一层for循环，用于遍历每个物品的个数。

    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    int[] nums = new int[] {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;

    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历物品个数，即考虑当从下标（0，i）取物品时，装满容量为j的背包，取物品i 0到k个时，价值最大的是谁
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
    }