【算法每日一练]-图论（保姆级教程篇11 tarjan模板篇）无向图的桥 #无向图的割点 #有向图的强连通分量

目录

预备知识

模板1：无向图的桥

模板2：无向图的割点

模板3：有向图的强连通分量

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讲之前先补充一下必要概念：

预备知识

无向图的【连通分量】：
即极大联通子图，再加入一个节点就不再连通（对于非连通图一定两个以上的连通分量）

无向图的【(割边或)桥】：
即去掉该边，图就变成了两个连通子图

无向图的【割点】：
将该点和相关联的边去掉，图将变成两个及以上的子图
注意：有割点不一定有桥，但是有桥一定有割点

        
无向图的【边双连通图】:
无向图中不存在桥，即删除一条边后仍然连通(每两个点间有至少两条路径，且路径上的边互不重复)    

        
无向图的【点双连通图】:
无向图中不存在割点，删除一个点后仍然联通(顶点大于2时，每两个点间有至少两条路径，且路径上的点互不重复) 

        
 【边双连通分量eDDC】：极大边双连通图 
 【点双连通分量vDDC】: 极大点双连通图

        
无向图的【缩点】1：
把每个【eDDC】看成一个点，桥看成连接两个点的无向边，得到一棵树。这种方式称为eDCC缩点

无向图的【缩点】2：
把每个【vDDC】看成一个点，割点看成一个点，每个割点向包含它vDDC连接一条边，得到一棵树。这种方式称为vDCC缩点

有向图的【强连通分量】：

即极大连通子图（任何两个节点都能相互到达）

        

模板1：无向图的桥

 首先介绍时间戳和回溯点（我更喜欢叫它走回点，听我往下分析）

dfn[u] (时间戳) 表示u节点深度优先遍历最先访问的序号，

low[u](走回点)表示u节点或子孙能走回到的最小节点序号。

给出结论：

无向边是桥，当搜索树上存在x的某个子节点y满足 low[y]>dfn[x]（没有等号）

怎么理解呢？
首先就是你不能走父子边回去，也就是怎么来的怎么回去，这样肯定是不行的。我们必须要走非父子边回去的。因为当从非父子边能回去时，也就意味着走到了环，那么此时就获取能回到的最小dfn为low，然后回溯时候父节点获取孩子更小的low即可。相当于走到环了，那么把这个最小的dfn传遍整个环中，也就是整个连通分量中。从而表示u节点或子孙能走回到的最小节点序号。这样的话同一个连通分量中low值是一样的，是最早走回的点号！（看不懂可以画一下图，就理解了）
        

对于无向图的桥：孩子的low值比父亲的dfn值大就说明有桥（这个可怜的孩子不能走非父子边回家了，能不可怜吗？？）

void tarjan(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++num;//初始化
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;//不可以走父子边回去
		if(!dfn[v]){//没访问过就递归访问，访问完要更新low
			tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);//获取孩子最小的low值（low是自己或子孙能走回的最小dfn嘛，不是回溯）
			if(low[v]>dfn[u]){//孩子的low值比父亲的dfn值大说明有桥
				cout<

这段代码把“回溯大法”体现的很好。可以看到没访问过就递归访问，返回后，也就是等到孩子们的low值都变正确了，我再去更新自己的low。

另外那一句else其实是留给遇环来处理的，父亲节点根本用不上，你只需要在孩子们遇环后把它们自己“照顾好了”之后，借助它们的结果来优化自己就行了。

        

完整代码 

#include //无向图的桥
using namespace std;
const int maxn=1000+5;
int n,m;
int head[maxn],cnt;
struct node{int to,next;}e[maxn*2];
int low[maxn],dfn[maxn],num;
//dfn[u](时间戳)表示u节点深度优先遍历访问的序号
//low[u](走回点)表示u节点或子孙能走回到的最小节点序号

void add(int u,int v){ e[++cnt]=(node){v,head[u]};head[u]=cnt;}
void tarjan(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++num;//初始化
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;//不可以走父子边回去
		if(!dfn[v]){//没访问过就递归访问，访问完要更新low
			tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);//获取孩子最小的low值（low是自己或子孙能走回的最小dfn嘛，不是回溯）
			if(low[v]>dfn[u]){//孩子的low值比父亲的dfn值大说明有桥
				cout<>n>>m){
		init();
		int u,v;
		while(m--){
			cin>>u>>v;
			add(u,v);
			add(v,u);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){//因为不一定整个图都联通，所以要判断那些点是否走不到
			if(!dfn[i]) tarjan(i,i);//深度优先搜索树的起点就是树根
		}
	}	
}

可以输入数据或自己画图试一下
7 7
1 4
1 2
2 3
3 5
5 7
5 6
6 4
或
7 6
1 2
2 3
3 5
5 7
5 6
6 4 

        

        

模板2：无向图的割点

x是割点条件：x不是根节点 且搜索树上存在x的一个子节点y，满足low[y]>=dfn[x]

【或者】x是根节点 且搜索树上存在至少两个子节点满足上述条件 （画图可证明，这里不多说了）

#include //无向图的割点
using namespace std;
const int maxn=1000+5;
int n,m,root;
int head[maxn],cnt;
struct node{int to,next;}e[maxn*2];
int low[maxn],dfn[maxn],num;

void add(int u,int v){ e[++cnt]=(node){v,head[u]};head[u]=cnt;}
void tarjan(int u,int fa){
	dfn[u]=low[u]=++num;//初始化
	int count=0;//记录有几个满足条件的子节点
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;//没访问过就递归访问，访问完更新low
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);//low是自己或子孙能走回的最小dfn
			if(low[v]>=dfn[u]){
				count++;
				if(u!=root||count>1)cout<>n>>m){
		init();
		int u,v;
		while(m--){
			cin>>u>>v;
			add(u,v);
			add(v,u);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){//因为不一定整个图都联通，所以要判断那些点是否走不到
			if(!dfn[i]) {
				root=i;
				tarjan(i,i);
		}
		}
	}	
}

测试数据（供你参考使用）
7 7
1 4
1 2
2 3
3 5
5 7
5 6
6 4
或
5 3
1 2
2 3
3 5

        

        

        

模板3：有向图的强连通分量

有向图的【强连通分量】：即极大连通子图（任何两个节点都能相互到达）
        

if(low[u]==dfn[u]){//在回溯之前，在low[u]==dfn[u]时，则从栈中不断弹出节点，直到x出栈停止。弹出的节点就是一个连通分量
		int v;
		do{//输出强连通分量（一定要先执行再判断）
			v=s.top();s.pop();
			cout<<"V: "<

前面和无向图基本一样（无非不用跳过走父子边步骤），后面内容就不太一样了。

判断条件：在low[u]==dfn[u]时，则从栈中不断弹出节点，直到x出栈停止。弹出的节点就是一个连通分量。

#include //有向图的强连通分量
using namespace std;
const int maxn=1000+5;
bool ins[maxn];
int n,m;
int head[maxn],cnt;
stack  s;
struct node{int to,next;}e[maxn*2];
int low[maxn],dfn[maxn],num;

void add(int u,int v){ e[++cnt]=(node){v,head[u]};head[u]=cnt;}

void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++num;//dfn访问序号，low使能回溯到的最早的dfn
	ins[u]=1;
	s.push(u);//第一次访问节点时候入栈
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
		int v=e[i].to;
		if(!dfn[v]){//没访问过就递归访问
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);//获取孩子的最小的low值   
		}
		else if(ins[v]){//已经访问过且在栈中获取dfn号
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(low[u]==dfn[u]){//在回溯之前，在low[u]==dfn[u]时，则从栈中不断弹出节点，直到x出栈停止。弹出的节点就是一个连通分量
		int v;
		do{//输出强连通分量（一定要先执行再判断）
			v=s.top();s.pop();
			cout<<"V: "<>n>>m){
		init();
		int u,v;
		while(m--){
			cin>>u>>v;
			add(u,v);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){//有向图不一定整个图都双向联通，所以要判断那些点是否走不到
			if(!dfn[i]) 	tarjan(i);
		}
	}	
}

参考数据
5 8
1 2
1 3
3 2
3 4
3 5
4 1
4 5
5 1