【C】递归函数

一、什么是递归

递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。

我们先了解一个知识：

每一次函数调用，都会向内存栈区上申请一块空间。 这块空间主要用来存放函数中的局部变量，和函数调用过程中的上下文信息. 这一块空间一般叫: 函数的运行时堆栈，也叫函数栈帧空间。​​​​​​​

写⼀个史上最简单的C语⾔递归代码：

#include 
int main()
{
 printf("hehe\n");
 main();//main函数中⼜调⽤了main函数
 return 0;
}

上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，不是为了解决问

题，代码最终也会陷⼊死递归，导致栈溢出（Stack overflow）。

递归的思想：

把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再 被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把大事化小的过程。

递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思。

---

二、递归的限制条件

递归在书写的时候，有2个必要条件：

• 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。

• 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。（渐渐的停下来）

---

三、递归举例

3.1 举例1：求n的阶乘

计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

①分析和代码实现

我们知道n的阶乘的公式： n ！ =   n ∗ ( n − 1)!

举例：

 5! = 5*4*3*2*1
 4! = 4*3*2*1
 所以:5! = 5*4!

这样的思路就是把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。

n!---> n*(n-1)!

           (n-1)! ---> (n-1)*(n-2)!

....

直到n是1或者0时，不再拆解

再稍微分析⼀下，当 n<=1 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过上述公式计算。

n的阶乘的递归公式如下：

那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶

乘，函数如下：

int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
 return 1;
 else
 return n*Fact(n-1);
}

测试：

#include 
int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
 return 1;
 else
 return n*Fact(n-1);
}
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fact(n);
 printf("%d\n", ret);
 return 0;
 }

运⾏结果（这⾥不考虑n太⼤的情况，n太⼤存在溢出）：

②画图推演

3.2 举例2：顺序打印一个整数的每一位

输⼊⼀个整数m，打印这个按照顺序打印整数的每⼀位。

⽐如：

①分析和代码实现

这个题⽬，放在我们⾯前，⾸先想到的是，怎么得到这个数的每⼀位呢？

如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n⾃⼰，n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位

1234%10就能得到4，然后1234/10

得到123，这就相当于去掉了4

然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推

不断的 %10 和 \10 操作，直到1234的每⼀位都得到；

但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的

但是我们有了灵感，我们发现其实⼀个数字的最低位是最容易得到的，通过%10就能得到

那我们假设想写⼀个函数Print来打印n的每⼀位，如下表⽰：

Print(n)
如果n是1234，那表⽰为
Print(1234) //打印1234的每⼀位
其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：
1. Print(1234/10) //打印123的每⼀位
2. printf(1234%10) //打印4
完成上述2步，那就完成了1234每⼀位的打印
那么Print(123)⼜可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)

以此类推下去，就有

 Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1)

直到被打印的数字变成⼀位数的时候，就不需要再拆分，递归结束。

那么代码完成也就⽐较清楚：

void Print(int n)
{
 if(n>9)
 {
 Print(n/10);
 }
 printf("%d ", n%10);
}
int main()
{
 int m = 0;
 scanf("%d", &m);
 Print(m);
 return 0;
}

输⼊和输出结果：

在这个解题的过程中，我们就是使⽤了⼤事化⼩的思路

把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4

把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3

直到Print打印的是⼀位数，直接打印就⾏。

②画图推演

以1234每⼀位的打印来推演⼀下

四、递归与迭代

递归是⼀种很好的编程技巧，但是很多技巧⼀样，也是可能被误⽤的，就像举例1⼀样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式：

int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
 return 1;
 else
 return n*Fact(n-1);
}

ct函数是可以产⽣正确的结果，但是在递归函数调⽤的过程中涉及⼀些运⾏时的开销。

在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都要需要为本次函数调⽤在栈区申请⼀块内存空间来保存函数调⽤期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。

函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。

所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢出（stack overflow）的问题

注： 涉及函数栈帧

所以如果不想使⽤递归就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。

⽐如：计算n的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的。

int Fact(int n)
{
 int i = 0;
 int ret = 1;
 for(i=1; i<=n; i++)
 {
 ret *= i;
 }
 return ret;
}

许多问题是以递归的形式进⾏解释的，因为它⽐⾮递归的形式更加清晰，

但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。

---

五、斐波那契数

举例3：求第n个斐波那契数(斐波那契数列前提是知道前两个数)

我们也能举出更加极端的例⼦，就像计算第n个斐波那契数，是不适合使⽤递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使⽤递归的形式描述的，如下：

看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所⽰：

int Fib(int n)
{
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

测试代码：

#include 
int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 return 0;
 }

当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是⾮常低效的，那是为什么呢？

画图：

这样做太冗余了

实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计

算，⽽且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以作业测试：

 #include 
 int count = 0;

 int Fib(int n)
 {
 if(n == 3)
 count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
 }


 int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 printf("\ncount = %d\n", count);
 return 0;
}

输出结果：

在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了

39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得想迭代的⽅式解决。

我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计算就⾏了。

这样就有下⾯的代码：

int Fib(int n)
{
 int a = 1;
 int b = 1;
 int c = 1;
 while(n>2)
 {
 c = a+b;
 a = b;
 b = c;
 n--;
 }
 return c;
}

迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。

---

六、⻘蛙跳台阶问题 / 汉诺塔问题

有时候，递归虽好，但是也会引入⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。

拓展学习：

• ⻘蛙跳台阶问题

• 汉诺塔问题

以上2个问题都可以使⽤递归很好的解决，

（1）⻘蛙跳台阶问题

（2） 汉诺塔问题