洛谷 P1450 [HAOI2008] 硬币购物

思路

完全背包：预处理出不限制硬币数量的方案数。

dp[0]=1;
dfor(i,1,4) dfor(j,c[i],(int)1e5) dp[j]+=dp[j-c[i]];

容斥

• 不限制数量的方案数 $-$ 超出限制的方案数 = 符合限制的方案数 。考虑第 $i$ 种硬币超出数量限制的方案数。强制支付 $d_i+1$ 个 $i$ 种硬币，价值为 $c_i\ast (d_i+1)$ ，此时再支付硬币 $i$ 一定是超出限制的。得：超出硬币 $i$ 限制的价值为 $s-c_i\ast (d_i+1)$ ，方案数为 $dp[s-c_i\ast (d_i+1)]$。
• 上述得出超出硬币 $i$ 价值为 $s-c_i\ast (d_i+1)$ ，这只是一种硬币的情况，如果不止一种硬币，你无法保证价值 $s-c_i\ast (d_i+1)$ 中是否包含了硬币 $j$ 的符合限制的价值，也就是说 $dp[s-c_i\ast (d_i+1)]$ 中有硬币 $j$ 符合限制的方案数。
• 硬币 $i$ 超出限制集合表示为 $A_i$ ，硬币 $j$ 超出限制集合表示为 $A_j$，$A_i\cup A_j=A_i+A_j-A_i\cap A_j$不多说奇加偶减 。不限制集合设为 $S$，答案集合 $ans=S-(A_i\cup A_j\cup \dots )$。

二进制

• 用每一位表示一种硬币，$1$ 那一位存在硬币，$0$ 反之。如 $0101$ 表示第 $3$ 种硬币和第 $1$ 种的并集。

dfor(i,1,15)
{
    re int cnt=0,sum=0;
    dfor(j,0,3)
       if(i&(1<<j)) ++cnt,sum+=c[j+1]*(d[j+1]+1);
    int f=cnt&1?-1:1;
    if(s>=sum) ans+=f*dp[s-sum];
}

Think Twice, Code Once

#include
#define il inline
#define get getchar
#define put putchar
#define is isdigit
#define re register
#define int long long
#define dfor(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;++i)
#define dforr(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;--i)
#define dforn(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;++i,put(10))
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define memc(a,b) memcpy(a,b,sizeof a)
#define pr 114514191981
#define gg(a) cout<<a,put(32)
#define INF 0x7fffffff
#define tt(x) cout<<x<<'\n'
#define ls i<<1
#define rs i<<1|1
#define la(r) tr[r].ch[0]
#define ra(r) tr[r].ch[1]
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef unsigned int ull;
int read(void)
{
    re int x=0,f=1;re char c=get();
    while(!is(c)) (f=c==45?-1:1),c=get();
    while(is(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=get();
    return x*f;
}
void write(int x)
{
    if(x<0) x=-x,put(45);
    if(x>9) write(x/10);
    put((x%10)^48);
}
#define writeln(a) write(a),put(10)
#define writesp(a) write(a),put(32)
#define writessp(a) put(32),write(a)
const int N=1e5+10,M=3e4+10,SN=1e4+10,mod=998244353;
int n,s,c[5],d[5],dp[N];
signed main()
{
    dfor(i,1,4) c[i]=read();
    n=read();
    dp[0]=1;
    dfor(i,1,4) dfor(j,c[i],(int)1e5) dp[j]+=dp[j-c[i]];
    while(n--)
    {
        dfor(i,1,4) d[i]=read();
        s=read();
        re int ans=dp[s];
        dfor(i,1,15)
        {
            re int cnt=0,sum=0;
            dfor(j,0,3)
                if(i&(1<<j)) ++cnt,sum+=c[j+1]*(d[j+1]+1);
            int f=cnt&1?-1:1;
            if(s>=sum) ans+=f*dp[s-sum];
        }
        writeln(ans);
    }
    return 0;
}