markdown中插入数学公式
dollarmath
-
- 标识
- Environments
-
- 公式/等式
- 数组/矩阵
- 格式控制
- 空格
- 边界
- 修饰
- 括号
- 点号
- 脚标
- 分数
- 极限
- 希腊字母
- 顶部符号
- 向量夹角
- 线性矩阵
-
- 边框矩阵
- 扩展标记
- 数组阵列
- 线性方程组
-
- 二元一次方程组
- 三元一次方程组
- 条件表达式
- 查看公式TeX命令
- cheatsheet
- refs
标识
TeX and LaTeX math delimiters
- Inline math:
$...$, will be rendered inline. - Display (block) math:
$$...$$, will be rendered in block.
在MathJax中，默认的displayed公式分隔符有 $$...$$ 和 \[...\] ，而默认的inline公式分隔符为 \(...\)，当然这些都是可以自定义的，具体配置请参考文档。在本文中，使用 $$...$$ 作为displayed分隔符，$...$ 作为inline分隔符。
需要注意的是，CSDN markdown、vscode markdown内置预览插件等编辑器中，行内数学公式的美元符号前后均不能有空格，否则无法正常渲染。
在 vscode markdown preview enhanced 插件和 jupyter notebook markdwn cell 中，行内数学公式的美元符号前后有空格也能正常渲染。
-
Inline math equations are wrapped in single dollar signs.
- For example,
$x^2$becomes x 2 x^2 x2. - Pythagorean Theorem:
$a^2 + b^2 = c^2$: a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 a2+b2=c2. - Einstein’s Theory of Special Relativity:
e=mc^2: e = m c 2 e=mc^2 e=mc2.
- For example,
-
KaTeX blocks begin and end with two dollar signs:
% comment为注释行，不会被渲染展示。- 行末插入
\\或\cr换行。
$$
% Pythagorean Theorem
a^2 + b^2 = c^2 \\
% Einstein’s Theory of Special Relativity
e=mc^2
$$
a 2 + b 2 = c 2 e = m c 2 % % Pythagorean Theorem a^2 + b^2 = c^2 \\ % Einstein’s Theory of Special Relativity e=mc^2 a2+b2=c2e=mc2
Environments
环境变量的起始标记为 \begin{ENV} ，结束标记为 \end{ENV}。
常用的环境变量包括以下：
公式/等式
-
单行等式：
equation，不支持\\换行。需内嵌split分行，相当于$$ ... $$加\\换行，但 equation 指定的公式组会添加（一个）自动编号。 -
对齐等式：
align（aligned,alignat,alignedat），默认右对齐，可使用&指定对齐点（位置）；gather（gathered），默认居中对齐，不支持指定对齐点。- align、gather 会自动给每一行编号，end 后可追加
\tag{N}，忽略自动行编号，指定公式组编号。
- align、gather 会自动给每一行编号，end 后可追加
-
条件等式：
cases（rcases），不会自动添加编号，支持使用&指定对齐点。
数组/矩阵
- 数组/行：
array，begin前面可添加\def\arraystretch{LINE-SPACE}前缀指定行间距。 - 矩阵：
matrix，支持pmatrix、bmatrix、Bmatrix、vmatrix、Vmatrix等扩展标记。
格式控制
align、alignat、gather只能用于 Display 块模式（$$...$$），Inline 行内模式（$...$）得使用aligned、alignedat、gathered。- To input a numerical LPP, use
alignatinstead of align to get better alignment between signs, variables and coefficients.
- To input a numerical LPP, use
- 对于公式
equation、align、alignat、gather自动编号，可在 ENV 名称添加*忽略自动编号，例如equation*、align*、gather*。- 也可以通过显式指定
\nonumber或\notag来忽略（某一行）自动编号。
- 也可以通过显式指定
- ENV块结尾添加
\tag标签支持进行序号标记或文字注释，将替换覆盖自动（行）编号。注意：行内公式不支持该标签！align,alignat,gather支持为每一行自定义\tag。
空格
CSDN markdown、vscode markdown内置预览插件等编辑器中，行内数学公式的美元符号前后均不能有空格，否则不能正常渲染。
单个美元符号和双美元符号跨行公式块中的键盘空格将被忽略，如果想在公式中插入空格，需采用特殊符号。
- 无空格
$a b$： a b ab ab - 小空格，符号
\,， a b a\,b ab - 中空格，符号
\:， a b a\:b ab - 大空格，符号
\， a b a\ b a b - 四空格
$a \quad b$： a b a \quad b ab - 八空格
$a \qquad b$： a b a \qquad b ab
边界
点积符号为 \cdot，a和b的点积写成 $a\cdotb$ 将报错，因为反斜杠后面都将视作符号而解析失败。
此时，可在点积符号结束处插入空格 $a\cdot b$： a ⋅ b a\cdot b a⋅b。
另外一种思路是，将反斜杠符号整体加上大括号 $a{\cdot}b$ 则可正确解析为 a ⋅ b a{\cdot}b a⋅b（貌似更紧凑）。
如果要用多个字母作为上、下标（^、_），则可用大括号将多个字母括起来作为一个整体脚标使用。
修饰
\boxed{...}支持将公式添加边框：$\boxed{e^{i\pi}+1=0}$（ e i π + 1 = 0 \boxed{e^{i\pi}+1=0} eiπ+1=0）。\color{color} formulae支持指定后续公式的颜色：$\color{blue} F=ma$（ F = m a \color{blue} F=ma F=ma）。\textcolor{color} {formula}支持指定后续大括号内的公式文本颜色：$\textcolor{blue}{F=ma}$（ F = m a \textcolor{blue}{F=ma} F=ma）。\colorbox{color} {formula}支持为后续大括号内的公式添加背景颜色：$\colorbox{yellow}{F=ma}$（ F=ma \colorbox{yellow}{F=ma} F=ma）。
括号
- 使用原始的小括号
( )、中括号[ ]得到的大小是固定的。 - 由于大括号
{}被用于分组，因此可以使用\lbrace和\rbrace来表示。 - 使用
\left(或\right)可使括号大小与包裹其中的公式列高自动适应（适用于所有括号类型）。
| 标记 | 含义 | 示例 |
|---|---|---|
| 竖线 | $\vert$、$\mid$ |
a ∣ b a \vert b a∣b、 a ∣ b a \mid b a∣b |
| 闭合单竖线 | $\lvert abs \rvert$ |
∣ a b s ∣ \lvert abs \rvert ∣abs∣ |
| 闭合双竖线 | $\lVert v \rVert$ |
∥ v ∥ \lVert v \rVert ∥v∥ |
| 尖括号 | $\lang \rang$ 或 $\langle \rangle$ |
⟨ a ∣ b ⟩ \lang a \vert b \rang ⟨a∣b⟩ 或 ⟨ a ∣ b ⟩ \langle a \mid b \rangle ⟨a∣b⟩ |
| 大括号 | $\lbrace \rbrace$ |
{ 1 , 2 , 3 , 4 , … } \lbrace 1,2,3,4,\ldots \rbrace {1,2,3,4,…} |
点号
| 符号 | 意义 | 示例 |
|---|---|---|
\cdot / \sdot / \cdotp |
中点 | c ⃗ = a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} c=a⋅b |
\ldots / \dotsc / \dotso / \mathellipsis |
底端对齐的省略号 | 1 , 2 , … , n 1,2,\ldots,n 1,2,…,n |
\cdots / \dots / \dotsb / \dotsi / \dotsm |
中线对齐的省略号 | x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 x12+x22+⋯+xn2 |
\vdots |
竖直对齐的省略号 | ⋮ \vdots ⋮ |
\ddots |
斜对齐(左上右下)的省略号 | ⋱ \ddots ⋱ |
$$f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2$$
f ( x 1 , x 2 , … ⏟ l d o t s , x n ) = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ ⏟ c d o t s + x n 2 f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2 f(x1,x2,ldots …,xn)=x12+x22+cdots ⋯+xn2
下文中多元一次方程组的系数矩阵，即综合运用了中省略号、竖省略号和斜对齐省略号。
脚标
对数：$\log_xy$（ log x y \log_xy logxy）、$\log_216 = 4$（ log 2 16 = 4 \log_216=4 log216=4）
多项式中x的幂：$x^2$（ x 2 x^2 x2）、$x^{10}$（ x 10 x^{10} x10）、$E=mc^2$（ E = m c 2 E=mc^2 E=mc2）
下标序号：$x_i$（ x i x_i xi）、$x_{i+1}$（ x i + 1 x_{i+1} xi+1）、$x_{ij}$（ x i j x_{ij} xij）
同时存在上下标，先写上标（$x^2_i$）或先写下标（$x_i^2$），结果都为 x i 2 x_i^2 xi2。
- 排列组合数可以写为
$C{^k_n}$（ C n k C{^k_n} Cnk）或$C{k \atop n}$（ C k n C{k \atop n} Cnk） - inner product:
$\lt x \vert y \gt = x^Ty$（ < x ∣ y > = x T y \lt x \vert y \gt = x^Ty <x∣y>=xTy） - outer product:
$\lvert x \gt \lt y \rvert =xy^T$（ ∣ x > < y ∣ = x y T \lvert x \gt \lt y \rvert =xy^T ∣x><y∣=xyT） - 圆面积：
$S=\pi{r^2}$（ S = π r 2 S=\pi{r^2} S=πr2）；圆球面积：$S=4πr^2$（ S = 4 π r 2 S=4πr^2 S=4πr2）；圆球体积：$V_3＝\frac{4{\pi}r^3}{3}$（ V 3 ＝ 4 π r 3 3 V_3＝\frac{4{\pi}r^3}{3} V3＝34πr3）。 - 欧拉公式：
$e^{i\theta} = \cos\theta + i·\sin\theta$（ e i θ = cos θ + i ⋅ sin θ e^{i\theta} = \cos\theta + i·\sin\theta eiθ=cosθ+i⋅sinθ）、$e^{i\pi}+1=0$（ e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1=0 eiπ+1=0）。
注意：若要用多个字母作为脚标，则需要用大括号将多个字母括起来作为整体脚标。
如果不加大括号，则符号（^、_）只会将紧邻其后第一个字母视作脚标，后续字母将渲染为普通字母：$x^10$（ x 1 0 x^10 x10）、$x_ij$（ x i j x_ij xij）。
分数
$\frac md$ 表示分式 m d \frac md dm，第一个字母是分子，第二个字母是分母。
用大括号将复合分子、分母括起来：\frac{5}{3\times{5}}： 5 3 × 5 \frac{5}{3\times{5}} 3×55
也可使用大括号内的 \over 实现：${a+1 \over b+1}$： a + 1 b + 1 {a+1 \over b+1} b+1a+1
分数幂及等效的开方表示：$x^{\frac 1n} = \sqrt[n]{x}$（ x 1 n = x n x^{\frac 1n} = \sqrt[n]{x} xn1=nx）
组合数：${n+1 \choose 2k}$ 或 $\binom{n+1}{2k}$： C n k = ( k n ) = n ! k ! ( n − k ) ! C{^k_n} = {k \choose n} = \frac{n!}{k!(n-k)!} Cnk=(nk)=k!(n−k)!n!
TeX expr:
$C{^k_n} = {k \choose n} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
极限
$\lim_{x\to 0}lnx$ 显示为 lim x → 0 l n x \lim_{x\to 0}lnx limx→0lnx。
自然底数 e 的定义式： e = lim n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n = lim n → + ∞ ( 1 + 100 % n ) n e = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%}{n})^n e=limn→+∞(1+n1)n=limn→+∞(1+n100%)n
TeX expr:
$e = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%}{n})^n$
假设增长率为虚数是否成立： e i = lim n → + ∞ ( 1 + 100 % ⋅ i n ) n e^i = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%·i}{n})^n ei=limn→+∞(1+n100%⋅i)n ？
TeX expr:
$e^i = \lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{100\%·i}{n})^n$
希腊字母
小写希腊字母：例如 $\gamma$ 显示为 γ \gamma γ，$\phi$（ ϕ \phi ϕ）。
大写希腊字母：首字母大写，例如 $\Gamma$ 显示为 Γ \Gamma Γ，$\Phi$（ Φ \Phi Φ）。
斜体希腊字母：加上 var 前缀，例如 $\varGamma$ ，显示为 Γ \varGamma Γ，$\varphi$（ φ \varphi φ）。
参考 希腊字母读音 和 数学符号及读法大全。
顶部符号
- 顶部点：
$\dot x$: x ˙ \dot x x˙ - 顶部两点：
$\ddot x$: x ¨ \ddot x x¨ - 顶部竖点：
$\dot {\dot x}$: x ˙ ˙ \dot {\dot x} x˙˙ - 顶部横线
$\overline x$: x ‾ \overline x x；底部下划线$\underline{x}$： x ‾ \underline{x} x - 用
\vec{a}表示矢量 a：$\vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$： c ⃗ = a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} c=a⋅b - 用
\overrightarrow{a}长箭头表示向量：$\overrightarrow{AB}$： A B → \overrightarrow{AB} AB - 用
\hat x表示尖帽：$\hat y=a\hat x+b$： y ^ = a x ^ + b \hat y=a\hat x+b y^=ax^+b - 多字符可以使用
$\widehat {xy}$： x y ^ \widehat {xy} xy
向量夹角
下面这段文字阐述了基于向量点积和模推导出向量夹角的过程，其中包括：
- 希腊字母：
\theta（θ）、\beta（β）、\alpha（α） - 正余弦三角函数符号：
\cos、\sin - 向量的模：双竖线
{\lVert}v{\rVert} - 分式：
\frac{m}{d}
向量 $v$ 和向量 $w$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值 $\cos\theta = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$
对于二维向量，设向量 $v$ 与 x 轴的夹角为 $\beta$，向量 $w$ 与 x 轴的夹角为 $\alpha$。
同方向上的单位向量 $u_v = \frac{v}{{\lVert}v{\rVert}} = (\cos\beta, \sin\beta)$, $u_w = \frac{w}{{\lVert}w{\rVert}} =(\cos\alpha, \sin\alpha)$
由余弦差角公式：$\cos\theta = \cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha = u_v \cdot u_w = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}}$
向量 v v v 和向量 w w w 的夹角 θ \theta θ 的余弦值 cos θ = v ⋅ w ∥ v ∥ ∥ w ∥ \cos\theta = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}} cosθ=∥v∥∥w∥v⋅w
对于二维向量，设向量 v v v 与 x 轴的夹角为 β \beta β，向量 w w w 与 x 轴的夹角为 α \alpha α。
同方向上的单位向量 u v = v ∥ v ∥ = ( cos β , sin β ) u_v = \frac{v}{{\lVert}v{\rVert}} = (\cos\beta, \sin\beta) uv=∥v∥v=(cosβ,sinβ), u w = w ∥ w ∥ = ( cos α , sin α ) u_w = \frac{w}{{\lVert}w{\rVert}} =(\cos\alpha, \sin\alpha) uw=∥w∥w=(cosα,sinα)
由余弦差角公式： cos θ = cos ( β − α ) = cos β cos α + sin β sin α = u v ⋅ u w = v ⋅ w ∥ v ∥ ∥ w ∥ \cos\theta = \cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha = u_v \cdot u_w = \frac{v \cdot w}{{\lVert}v{\rVert}{\lVert}w{\rVert}} cosθ=cos(β−α)=cosβcosα+sinβsinα=uv⋅uw=∥v∥∥w∥v⋅w
线性矩阵
{matrix} 标识无边框矩阵的开始和结束，每一行以 \\ 结尾，行间元素以 & 分隔。
行内矩阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} 147258369
TeX expr:
$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}$
跨行矩阵：
$$
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix} \tag{无边框矩阵}
$$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (无边框矩阵) \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \tag{无边框矩阵} 147258369(无边框矩阵)
当数字宽度不一致时，列向默认是居中对齐，也可在 matrix后面加 *，再用中括号指定列对齐方式（[l]、[c]、[r]）。
$$
\begin{matrix*}[l]
1 & 20 & 300 \\
40 & 500 & 60 \\
700 & 8 & 9
\end{matrix*}
\tag{列左对齐}
$$
1 20 300 40 500 60 700 8 9 (列左对齐) \begin{matrix*}[l] 1 & 20 & 300 \\ 40 & 500 & 60 \\ 700 & 8 & 9 \end{matrix*} \tag{列左对齐} 140700205008300609(列左对齐)
边框矩阵
教科书上一般习惯书写带有边框的矩阵。
- 中括号块：
\left[、\right]
$$
\left[
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right]
\tag{中括号矩阵}
$$
[ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] (中括号矩阵) \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] \tag{中括号矩阵} 147258369 (中括号矩阵)
- 大括号块：
\left{、\right}
$$
\left\{
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{matrix}
\right\}
\tag{大括号矩阵}
$$
{ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } (大括号矩阵) \left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right\} \tag{大括号矩阵} ⎩ ⎨ ⎧147258369⎭ ⎬ ⎫(大括号矩阵)
扩展标记
也可用下列词替换 matrix：
| 标记 | 含义 | 示意 | 示例 |
|---|---|---|---|
pmatrix |
小括号边框 | () | ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} 147258369 |
bmatrix |
中括号边框 | [] | [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} 147258369 |
Bmatrix |
大括号边框 | {} | { 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Bmatrix} ⎩ ⎨ ⎧147258369⎭ ⎬ ⎫ |
vmatrix |
单竖线边框 | || | ∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} 147258369 |
Vmatrix |
双竖线边框 | ‖‖ | ∥ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∥ \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Vmatrix} 147258369 |
数组阵列
需要借助以 {array} 起始和结束的阵列标识。
- 对齐方式：在
{array}后的{}中逐列统一声明 - 左对齐：
l；居中：c；右对齐：r - 竖直线：在声明对齐方式时，
|表示在列之间插入竖直线 - 插入水平线：
\hline
示例1：增广矩阵（enlarged, Augmented）
cc|c表示三列居中对齐，第二列和第三列之间插入竖线分割。
$$
\left[
\begin{array} {c c | c} %三列居中对齐，第二列和第三列之间插入竖线分割
1 & 2 & 3 \\ % 换行
4 & 5 & 6
\end{array}
\right]
$$
[ 1 2 3 4 5 6 ] \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ % 换行 4 & 5 & 6 \end{array} \right] [142536]
示例2：简易表格1
$$
\begin{array}{c|lll}
{↓}&{a}&{b}&{c}\\
\hline
{R_1}&{d}&{e}&{f}\\
{R_2}&{h}&{i}&{j}\\
\end{array}
$$
↓ a b c R 1 d e f R 2 h i j \begin{array}{c|lll} {↓}&{a}&{b}&{c}\\ \hline {R_1}&{d}&{e}&{f}\\ {R_2}&{h}&{i}&{j}\\ \end{array} ↓R1R2adhbeicfj
示例3：简易表格2
c|lcr表示第一列居中对齐，然后插入竖线，后面三列分别左、中、右对齐。
$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\
\hline
1 & 0.24 & 1 & 125 \\
2 & -1 & 189 & -8 \\
3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
$$
n Left Center Right 1 0.24 1 125 2 − 1 189 − 8 3 − 20 2000 1 + 10 i \begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array} n123Left0.24−1−20Center11892000Right125−81+10i
示例4：虚线分割
将分隔符从竖线（
|）换成冒号（:），则纵向分割线变成虚线；
横向分割线\hline为实线，\hdashline为虚线。
开头的\def\arraystretch{1.5}指定行间距。
$$
\def\arraystretch{1.5}
\begin{array}{c:c:c}
a & b & c \\ \hline
d & e & f \\
\hdashline
g & h & i
\end{array}
$$
a b c d e f g h i \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} a & b & c \\ \hline d & e & f \\ \hdashline g & h & i \end{array} adgbehcfi
示例5：矩阵分块
shape 为 (2,2,4) 和 (2,4,2) 的3D矩阵，可以用2D数组表示，将纵深第三维用分块示意。
$x(2,2,4) = \left[ \begin{array}{cccc:cccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $x_{ij}$ 代表第三维长度为4的向量。
$y(2,4,2) = \left[ \begin{array}{cc:cc:cc:cc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \\ y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \\ \end{bmatrix}$，每一块 $y_{ij}$ 代表第三维长度为2的向量。
x ( 2 , 2 , 4 ) = [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ] = [ x 0 x 1 ] = [ x 00 x 01 x 10 x 11 ] x(2,2,4) = \left[ \begin{array}{cccc:cccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \\ \end{bmatrix} x(2,2,4)=[0819210311412513614715]=[x0x1]=[x00x10x01x11]，每一块 x i j x_{ij} xij 代表第三维长度为4的向量。
y ( 2 , 4 , 2 ) = [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ] = [ y 0 y 1 ] = [ y 00 y 01 y 02 y 03 y 10 y 11 y 12 y 13 ] y(2,4,2) = \left[ \begin{array}{cc:cc:cc:cc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hdashline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{00} & y_{01} & y_{02} & y_{03} \\ y_{10} & y_{11} & y_{12} & y_{13} \\ \end{bmatrix} y(2,4,2)=[0819210311412513614715]=[y0y1]=[y00y10y01y11y02y12y03y13]，每一块 y i j y_{ij} yij 代表第三维长度为2的向量。
3D数组（矩阵） z 333 z_{333} z333 的shape为(3,3,3)，用2D数组示意如下（分块为第三维平铺），这样方便看出其对角线矩阵。
$ z_{333} = \left[ \begin{array}{ccc:ccc:ccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hline 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \end{array} \right] $，diag = $ \begin{bmatrix} 0 & 12 & 24 \\ 1 & 13 & 25 \\ 2 & 14 & 26 \\ \end{bmatrix} $
z 333 = [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ] z_{333} = \left[ \begin{array}{ccc:ccc:ccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hdashline 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 \\ \hdashline 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 \\ \end{array} \right] z333= 09181101921120312214132251423615247162581726 ，diag = [ 0 12 24 1 13 25 2 14 26 ] \begin{bmatrix} 0 & 12 & 24 \\ 1 & 13 & 25 \\ 2 & 14 & 26 \\ \end{bmatrix} 012121314242526
线性方程组
这里借助左大括号块和 {array} 分组表达式来书写方程组：
$$
\left \{
\begin{array}{c}
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\
a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\end{array}
\right.
$$
{ a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 \left \{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3
线性方程组对应的矩阵表达式（Matrix equation）： A x = b Ax = b Ax=b
二元一次方程组
二元一次方程组： { x − 2 y = 1 3 x + 2 y = 11 \left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{array} \right. {x−2y=13x+2y=11
TeX expr：
$\left\{ \begin{array}{c} x - 2y = 1 \\ 3x + 2y = 11 \end{array} \right.$
向量线性组合的形式如下（column picture）：
$x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$
x [ 1 3 ] x \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} x[13] + y [ − 2 2 ] y \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ \end{bmatrix} y[−22] = [ 1 11 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix} [111]
矩阵乘向量的形式如下（Matrix times Vector）：
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix}$
[ 1 − 2 3 2 ] \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix} [13−22] [ x y ] \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} [xy] = [ 1 11 ] \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix} [111]
系数矩阵（Coefficient matrix） A = [ 1 − 2 3 2 ] A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix} A=[13−22]，结果矩阵 b = [ 1 11 ] b = \begin{bmatrix} 1 \\ 11 \\ \end{bmatrix} b=[111]。
- 注意：这里的
b需要表示成标准的2D column vector。
使用 numpy.linalg 包的 solve 函数 x = np.linalg.solve(A,b) 即可求解出 x = [ 3 1 ] x = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix} x=[31]。
三元一次方程组
以 {cases} 标识书写方程组（&= 设置 = 对齐）：
$$
\begin{cases}
2x+1y+(-2)z &= -3\\
3x+0y+1z &= 5\\
1x+1y+(-1)z &= -2\\
\end{cases}
$$
{ 2 x + 1 y + ( − 2 ) z = − 3 3 x + 0 y + 1 z = 5 1 x + 1 y + ( − 1 ) z = − 2 \begin{cases} 2x+1y+(-2)z &=-3 \\ 3x+0y+1z &=5 \\ 1x+1y+(-1)z &= -2\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧2x+1y+(−2)z3x+0y+1z1x+1y+(−1)z=−3=5=−2
也可使用 alignat 实现变量对齐（*忽略自动编号）书写方程组：
$$
\left\{
\begin{alignat*}{3.5}
2&x+&1&y+&(-2)&z = &-3 \\
3&x+&0&y+&1&z = &5 \\
1&x+&1&y+&(-1)&z = &-2
\end{alignat*}
\right.
$$
{ 2 x + 1 y + ( − 2 ) z = − 3 3 x + 0 y + 1 z = 5 1 x + 1 y + ( − 1 ) z = − 2 \left\{ \begin{alignat*}{3.5} 2&x+&1&y+&(-2)&z = &-3 \\ 3&x+&0&y+&1&z = &5 \\ 1&x+&1&y+&(-1)&z = &-2 \end{alignat*} \right. ⎩ ⎨ ⎧231x+x+x+101y+y+y+(−2)1(−1)z=z=z=−35−2
向量线性组合的形式如下（column picture）：
$x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ + $z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$
x [ 2 3 1 ] x \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{bmatrix} x 231 + y [ 1 0 1 ] y \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} y 101 + z [ − 2 1 − 1 ] z \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} z −21−1 = [ − 3 5 − 2 ] \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix} −35−2
矩阵乘向量的形式如下（Matrix times Vector）：
$\begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix}$
[ 2 1 − 2 3 0 1 1 1 − 1 ] \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} 231101−21−1 [ x y z ] \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} xyz = [ − 3 5 − 2 ] \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix} −35−2
系数矩阵（Coefficient matrix） A = [ 2 1 − 2 3 0 1 1 1 − 1 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{bmatrix} A= 231101−21−1 ，结果矩阵 b = [ − 3 5 − 2 ] b = \begin{bmatrix} -3 \\ 5 \\ -2 \\ \end{bmatrix} b= −35−2 。
条件表达式
在定义分段函数时，经常需要分情况给出表达式，此时可使用 \begin{cases}…\end{cases} 。
使用
&指示需要对齐的位置。
以下定义了分段函数：
$$
% abs
f(x)=
\begin{cases}
-x, & x<0 \\
x, & x \ge 0
\end{cases}
$$
$$
% i^n
f(n) =
\begin{cases}
1, &n=4k, k\in\mathbb{Z} \\
i, &n=4k+1, k\in\mathbb{Z} \\
-1, &n=4k+2, k\in\Bbb{Z} \\
-i, &n=4k+3, k\in\Bbb{Z}
\end{cases}
$$
f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 % abs f(x)= \begin{cases} -x, & x<0 \\ x, & x \ge 0 \end{cases} f(x)={−x,x,x<0x≥0
f ( n ) = { 1 , n = 4 k , ∀ k ∈ Z i , n = 4 k + 1 , ∀ k ∈ Z − 1 , n = 4 k + 2 , ∀ k ∈ Z − i , n = 4 k + 3 , ∀ k ∈ Z % i^n f(n) = \begin{cases} 1, &n=4k, \forall k\in\mathbb{Z} \\ i, &n=4k+1, \forall k\in\mathbb{Z} \\ -1, &n=4k+2, \forall k\in\Bbb{Z} \\ -i, &n=4k+3, \forall k\in\Bbb{Z} \end{cases} f(n)=⎩ ⎨ ⎧1,i,−1,−i,n=4k,∀k∈Zn=4k+1,∀k∈Zn=4k+2,∀k∈Zn=4k+3,∀k∈Z
也可基于分段表达式撰写方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0 \\
\qquad \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0 \\
\end{cases}
$$
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = 0 ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n=0 \\ \qquad \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…+a2nxn=0⋮⋮⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=0
系数矩阵（Coefficient matrix）表示如下，综合运用了中省略号、竖省略号和斜对齐省略号。
$$
\left[
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{matrix}
\right]
$$
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix} \right] a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn
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