Week 13

Chris Akers, Netta Engelhardt, and Daniel Harlow, "Simple Holographic models of black hole evaporation"
还是一篇反思Page curve计算的文章。问题依旧是，为什么我们和霍金一样在半经典的框架下做计算却得到了不同的结果。这当然很surprising，但是我们只是把他当做某种奇迹，还是要反思是不是我们只是“自欺欺人”：即我们实际做的计算并不是我们期待要做的。在AdS/CFT的框架下，Page curve的计算应该是(Calculation one):
将一个处在高能激发态上的holographic CFT与一个auxiliary的heat bath 系统耦合起来，然后用整个系统Hamiltonian做动力学演化，然后计算auxiliary系统的von Neumann entropy随时间的变化。

但是实际上我们在做的计算是(Calculation two):
将一个微扰的半经典的AdS引力理论与一个auxiliary的系统在AdS空间的边界处耦合起来，然后，计算auxiliary系统的von Neumann entropy随时间的变化。

初看，这两个计算是等价的，因为有AdS/CFT对偶，但是文章指出两个计算其实是不等价的。
为了说明两个计算不等价，文章里提出了两个简单的黑洞蒸发的模型来类别两个计算。

模型I

我们把黑洞蒸发的过程想象成是一个大的AdS黑洞在不同辐射出一些小的AdS黑洞。一个欧式黑洞是一个cigar geometry，那么我们可以想象整个蒸发过程构成的几何是如下图所示的wormhole geometry：

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霍金辐射的RT surface 可能是也可能是，因为能量守恒，随时间减小，随时间增多，所以就会有一个phase transition。

这个简单模型 想要 模拟的是下面的过程：开始我们很多copy的holographic CFT，其中一个处在高能量态上，其他都处在基态。然后我们把他们couple 起来，用总体的Hamiltonian 来演化。也是就是calculation one里面的图像。

当然这个模型本身有很多可以疑问的地方。比如在AdS/CFT的框架下，如果一开始在CFT这边的理论是很多copy的CFT 的tensor product的话，那么在引力这边的系统是应该是很多彼此不连接的AdS 空间，其中一个AdS空间里有一个黑洞。然后somehow，我们要把他们连接起来。naively来想的话，如果是几个独立的量子系统随时间演化，无论如何他们是联系不起来的。但是如果是量子引力系统呢？fix energy的情况下，我们可以问哪个构型的熵最低？是n个独立的系统，还是wormhole，如果wormhole的熵低的话，似乎引力自己就会把它们连起来，而不需要人为引入两个宇宙的耦合。当然这里我们假定了总能量守恒而不是单个的宇宙能量守恒。这个总能量守恒就是一个额外我们加的“耦合”。如果就是假设总能量secretly就是守恒的，我们还是可以问，系统是怎么从独立系统演化成wormhole的？真的有一个几何的，也就是半经典的，方法来描述这个过程吗？还是类似于薛定谔的猫那样是一个量子跃迁过程。如果是类似于后者的话，那么就表明如果要描述Page curve这个相变，半经典的引力描述是不足够的，霍金是对的，我们现在的计算是错的？那我们又错在哪了？这个可以用另外一个简单模型来说明。

模型II

还是可以用下面的两个图来描述这个模型：

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概括来说就是，进入内部的霍金辐射最后是到达了另外一个宇宙，也就是说进入内部的霍金辐射并不算黑洞内部的一部分。这也是霍金计算的图像，信息就是丢失了。用quantum extremal surface的语言来理解就是，虽然与之前一样，因为能量守恒，随时间减小，随时间增多，但是因为和并不是homologous的，所以并不能作为霍金辐射RT surface 的candidate，所以也不会发生相变。而我们现在的计算（calculation two）之所以找到了这个相变的原因就是因为我们假设了和是homologous的。

Harlow他们的point就是，现在我们计算的Page curve的方法是不对的，但是文章中并没有comment on replica wormhole，所以对于相信replica wormhole解释的人来说Harlow他们的反对并没有什么效力。但是也可以反过来想，怎么在replica wormhole的图像下来理解这两个toy model对应的scenarios。