高中奥数 2021-10-08

2021-10-08-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P061 习题05）

圆内接四边形对角线上的点满足,、分别为、的内心,线段与交于点.证明:、、、四点共圆.

证明

如图,由,,知.

图1

绕点旋转再放缩变为,因此,,.

故.

于是.

从而,、、、四点共圆

2021-10-08-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题06）

在圆内接四边形中,已知,,为对角线上一点,且满足,为线段上一点,且满足.设为线段与直线的交点.若,求的度数

解

如图,以为旋转中心旋转,使与重合,点转到.

图2

因为四边形为圆内接四边形,所以.

从而,、、三点共线.

设为与的交点.

由,有.

故.

因为,所以.

于是,.

视直线为的截线,由梅涅劳斯定理有.

因此,.

又,则.

因此,.

于是.

2021-10-08-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题07）

的外接圆的圆心为,是边的中点,与外接圆交于点,,点在上,过点的外接圆的切线与相交于点.用同样的方式,可以构造点和.证明:、、三点共线.

证明

可以证明它们都在与九点圆的根轴上.

如图,把位似变换到.

图3

的重心为位似中心,位似比为.

在这种变换下,变成了,其中是九点圆的圆心.

所以,,.

故是九点圆的切线.

易知,则(不妨设).

又,,所以,.

故.

所以,在与九点圆的根轴上.

同理,、也在与九点圆的根轴上.

2021-10-08-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题08）

设、分别为正方形的边、上的点,、分别与对角线交于、两点,且..求证:五边形内接于圆.

证明

如图,以为旋转中心逆时针旋转,则,设,则垂直且等于,垂直且等于,因而在的延长线上,所以,于是,.

图4

注意到“任意一条直线与其像直线的交角等于旋转角”是在旋转下的像.

故,所以;同理.

即、、、和、、、分别四点共圆,从而五边形内接于圆.