2021-10-08-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P061 习题05)
圆内接四边形对角线上的点满足,、分别为、的内心,线段与交于点.证明:、、、四点共圆.
证明
如图,由,,知.
绕点旋转再放缩变为,因此,,.
故.
于是.
从而,、、、四点共圆
2021-10-08-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题06)
在圆内接四边形中,已知,,为对角线上一点,且满足,为线段上一点,且满足.设为线段与直线的交点.若,求的度数
解
如图,以为旋转中心旋转,使与重合,点转到.
因为四边形为圆内接四边形,所以.
从而,、、三点共线.
设为与的交点.
由,有.
故.
因为,所以.
于是,.
视直线为的截线,由梅涅劳斯定理有.
因此,.
又,则.
因此,.
于是.
2021-10-08-03
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题07)
的外接圆的圆心为,是边的中点,与外接圆交于点,,点在上,过点的外接圆的切线与相交于点.用同样的方式,可以构造点和.证明:、、三点共线.
证明
可以证明它们都在与九点圆的根轴上.
如图,把位似变换到.
的重心为位似中心,位似比为.
在这种变换下,变成了,其中是九点圆的圆心.
所以,,.
故是九点圆的切线.
易知,则(不妨设).
又,,所以,.
故.
所以,在与九点圆的根轴上.
同理,、也在与九点圆的根轴上.
2021-10-08-04
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P062 习题08)
设、分别为正方形的边、上的点,、分别与对角线交于、两点,且..求证:五边形内接于圆.
证明
如图,以为旋转中心逆时针旋转,则,设,则垂直且等于,垂直且等于,因而在的延长线上,所以,于是,.
注意到“任意一条直线与其像直线的交角等于旋转角”是在旋转下的像.
故,所以;同理.
即、、、和、、、分别四点共圆,从而五边形内接于圆.