Python高级数据结构——B树和B+树

Python中的B树和B+树：高级数据结构解析

B树和B+树是一种多叉树，常用于处理大量数据的存储和检索操作。它们广泛应用于文件系统、数据库索引等领域，具有高效的插入、删除和搜索性能。在本文中，我们将深入讲解Python中的B树和B+树，包括它们的基本概念、插入、删除和搜索操作，并使用代码示例演示它们的使用。

基本概念

1. B树和B+树的定义

B树和B+树是一种自平衡的搜索树，其每个节点可以包含多个键值对。B树和B+树的主要区别在于节点的定义和遍历方式。

B树： 每个节点包含键值对，并具有子节点。B树的节点包含的键值对数量介于t-1和2t-1之间，其中t是树的最小度数。
B+树： 内部节点只包含键值，不存储数据。所有的数据都存储在叶子节点上，形成有序链表。B+树的节点包含的键值对数量介于t和2t-1之间。

class BNode:
    def __init__(self, is_leaf=True):
        self.keys = []
        self.children = []
        self.is_leaf = is_leaf

class BTree:
    def __init__(self, t):
        self.root = BNode()
        self.t = t  # 最小度数

插入操作

2. B树和B+树的插入

B树和B+树的插入操作包括两个步骤：首先找到要插入的位置，然后将键值对插入到节点中。插入后，可能需要进行节点分裂操作，以保持树的平衡性。

class BTree:
    # ... (前面的定义)

    def insert(self, key):
        root = self.root

        if len(root.keys) == 2 * self.t - 1:
            new_root = BNode(is_leaf=False)
            new_root.children.append(root)
            self._split_child(new_root, 0)
            self.root = new_root
            self._insert_non_full(new_root, key)
        else:
            self._insert_non_full(root, key)

    def _insert_non_full(self, x, key):
        i = len(x.keys) - 1

        if x.is_leaf:
            x.keys.append(None)
            while i >= 0 and key < x.keys[i]:
                x.keys[i + 1] = x.keys[i]
                i -= 1
            x.keys[i + 1] = key
        else:
            while i >= 0 and key < x.keys[i]:
                i -= 1
            i += 1
            if len(x.children[i].keys) == 2 * self.t - 1:
                self._split_child(x, i)
                if key > x.keys[i]:
                    i += 1
            self._insert_non_full(x.children[i], key)

    def _split_child(self, x, i):
        t = self.t
        y = x.children[i]
        z = BNode(is_leaf=y.is_leaf)

        x.children.insert(i + 1, z)
        x.keys.insert(i, y.keys[t - 1])

        z.keys = y.keys[t:2 * t - 1]
        y.keys = y.keys[0:t - 1]

        if not y.is_leaf:
            z.children = y.children[t:2 * t]
            y.children = y.children[0:t]

删除操作

3. B树和B+树的删除

B树和B+树的删除操作同样包括两个步骤：首先找到要删除的位置，然后从节点中删除键值对。删除后，可能需要进行节点合并操作，以保持树的平衡性。

class BTree:
    # ... (前面的定义)

    def delete(self, key):
        root = self.root

        if len(root.keys) == 0:
            return

        self._delete(root, key)

        if len(root.keys) == 0 and not root.is_leaf:
            self.root = root.children[0]

    def _delete(self, x, key):
        t = self.t
        i = 0

        while i < len(x.keys) and key > x.keys[i]:
            i += 1

        if i < len(x.keys) and key == x.keys[i]:
            if x.is_leaf:
                del x.keys[i]
            else:
                self._delete_internal(x, i)
        elif not x.is_leaf:
            self._delete_recursive(x, i, key)

    def _delete_recursive(self, x, i, key):
        t = self.t
        child = x.children[i]
        if len(child.keys) == t - 1:
            self._fix_child(x, i)
            i -= 1

        self._delete(child, key)

    def _delete_internal(self, x, i):
        t = self.t
        key = x.keys[i]

        if x.children[i].is_leaf:
            predecessor = self._get_predecessor(x.children[i])
            x.keys[i] = predecessor
            self._delete(x.children[i], predecessor)
        else:
            successor = self._get_successor(x.children[i])
            x.keys[i] = successor
            self._delete(x.children[i], successor)

    def _get_predecessor(self, x):
        while not x.is_leaf:
            x = x.children[-1]
        return x.keys[-1]

    def _get_successor(self, x):
        while not x.is_leaf:
            x = x.children[0]
        return x.keys[0]

    def _fix_child(self, x, i):
        t = self.t
        if i > 0 and len(x.children[i - 1].keys) >= t:
            self._borrow_from_prev(x, i)
        elif i < len(x.children) - 1 and len(x.children[i + 1].keys) >= t:
            self._borrow_from_next(x, i)
        elif i > 0:
            self._merge(x, i - 1)
        else:
            self._merge(x, i)

    def _borrow_from_prev(self, x, i):
        child = x.children[i]
        sibling = x.children[i - 1]

        child.keys.insert(0, x.keys[i - 1])
        x.keys[i - 1] = sibling.keys.pop()

        if not child.is_leaf:
            child.children.insert(0, sibling.children.pop())

    def _borrow_from_next(self, x, i):
        child = x.children[i]
        sibling = x.children[i + 1]

        child.keys.append(x.keys[i])
        x.keys[i] = sibling.keys.pop(0)

        if not child.is_leaf:
            child.children.append(sibling.children.pop(0))

    def _merge(self, x, i):
        t = self.t
        child = x.children[i]
        sibling = x.children[i + 1]

        child.keys.append(x.keys.pop(i))
        child.keys += sibling.keys
        if not child.is_leaf:
            child.children += sibling.children

        del x.children[i + 1]

搜索操作

4. B树和B+树的搜索

B树和B+树的搜索操作与普通的二叉搜索树类似，通过递归实现。

class BTree:
    # ... (前面的定义)

    def search(self, key):
        return self._search(self.root, key)

    def _search(self, x, key):
        i = 0
        while i < len(x.keys) and key > x.keys[i]:
            i += 1
        if i < len(x.keys) and key == x.keys[i]:
            return True
        elif x.is_leaf:
            return False
        else:
            return self._search(x.children[i], key)

应用场景

B树和B+树广泛应用于文件系统、数据库索引等需要大量数据存储和检索的场景。它们的平衡性和高效性能使得它们成为处理大规模数据的理想选择。

总结

B树和B+树是一种多叉搜索树，具有高效的插入、删除和搜索性能。它们通过节点的合并和分裂操作来保持平衡，适用于大规模数据的存储和检索。在Python中，我们可以使用类似上述示例的代码实现B树和B+树，并根据实际问题定制插入、删除和搜索的操作。理解B树和B+树的基本概念和操作，将有助于更好地应用它们解决实际问题，提高数据存储和检索的效率。