代码随想录算法训练营第四十四天 _ 动态规划_完全背包问题、518.零钱兑换II、377.组合总和IV。

学习目标：

动态规划五部曲：
① 确定dp[i]的含义
② 求递推公式
③ dp数组如何初始化
④ 确定遍历顺序
⑤ 打印递归数组 ---- 调试
引用自代码随想录！

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学习内容：

完全背包问题 – 二维dp数组

• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[i][j]的含义 ： 任取[0, i]的物品（可重复使用）后放进容量为j的背包 所能放的 最大价值
  ② 求递推公式 ： dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);
  Ⅰ 不放物品 i ： dp[i][j] = dp[i-1][j];
  Ⅱ 放物品 i : dp[i][j-weight[i]] + value[i] 依赖本行已填充的值
  ③ dp数组如何初始化 ： 对第一行进行单独的初始化，如下图所示。当背包容量大于第一个物品的重量时开始放入背包，一直连续放入。
  ④ 遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包，和01背包问题一致。

下面的代码应该是没问题的，但是数字量变大之后会很容易超时。

// 动态规划
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //m,n分别代表物品种类和背包容量
        int itemSize = 0,bagSize = 0;
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //获取itemSize和bagSize的值
        itemSize = sc.nextInt();
        bagSize = sc.nextInt();
        //初始化对应的重量数组和价值数组
        int[] weight = new int[itemSize];
        int[] value = new int[itemSize];
        //这两个都是物品的属性，大小只和物品数量有关
        for(int i = 0;i < itemSize;i++){
            weight[i] = sc.nextInt();
            value[i] = sc.nextInt();
        }
        
        // 完全背包问题
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        int itemSize = weight.length;
        // dp数组的含义是：在[0,i]件物品中选择是否放入背包 的 最大价值
        int[][] dp = new int[itemSize][bagSize+1];
        
        int val = 0;
        
        // 初始化dp数组，默认都为0.
        // 使用最小重量的物品为该物品所在行赋值
        for(int j = weight[0]; j < bagSize+1; j++){
            if(j % weight[0] == 0)  val += value[0];
            dp[0][j] = val;
        }
        
        // 正常的为dp数组赋值，依赖左上位置的其他的dp值
        for(int i = 1; i < itemSize; i++){
            // j是背包容量
            for(int j = 1; j < bagSize+1; j++){
                // 如果容量可以放入新的物品，则从本行的左侧继承
                if(j >= weight[i]){
                    // 一定要填j < weight[i]的位置，
                    // dp[i][j-weight[i]]与该行左侧的值息息相关。
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);
                }
                // 如果容量不够放入新的物品，则从上一行继承
                else if(j < weight[i])   dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
        System.out.println(dp[itemSize-1][bagSize]);
        
        // 打印dp数组
        for (int i = 0; i < itemSize; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}

完全背包问题 – 一维dp数组

• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[j]的含义 ： 任取[0, i]的物品（可重复使用）后放进容量为j的背包 所能放的 最大价值
  ② 求递推公式 ： dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
  Ⅰ 不放物品 i ： dp[j]
  Ⅱ 放物品 i : dp[j-weight[i]] + value[i]
  ③ dp数组如何初始化 ： 初始化为0
  ④ 遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包（正序），和01背包问题8同。

虽然下面的代码应该是没问题的，但是数字量变大之后会很容易超时。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        //m,n分别代表物品种类和背包容量
        int itemSize = 0,bagSize = 0;
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        //获取itemSize和bagSize的值
        itemSize = sc.nextInt();
        bagSize = sc.nextInt();
        //初始化对应的重量数组和价值数组
        int[] weight = new int[itemSize];
        int[] value = new int[itemSize];
        //这两个都是物品的属性，大小只和物品数量有关
        for(int i = 0;i < itemSize;i++){
            weight[i] = sc.nextInt();
            value[i] = sc.nextInt();
        }
        
        // 完全背包问题
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    /**
     * 动态规划获得结果
     * @param weight  物品的重量
     * @param value   物品的价值
     * @param bagSize 背包的容量
     */
    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        int itemSize = value.length;
        int[] dp = new int[bagSize+1];
        
        // 初始化为0
        
        // 递归推导
        for(int i = 0; i < itemSize; i++){
            for(int j = weight[i]; j < bagSize+1; j++){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
                // System.out.print(dp[j] + "\t");
            }
            // System.out.println("\n");
        }
        
        System.out.print(dp[bagSize] + "\n");

    }
}

518.零钱兑换II

• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[i]的含义 ： 装满容量为i的背包有dp[i]种方法。
  ② 求递推公式 ： dp[j] += dp[j - coins[i]] (装满背包的方法数的相关问题的统一递归公式)
  ③ dp数组如何初始化 ： dp[0] = 1 （若dp[0] = 0，则所有的全部为0。）
  ④ 确定遍历顺序 ： 从前向后，先物品后背包
  ⑤ 打印dp数组

组合的dp数组
1 1 1 1 1
1 2 2 3 3
1 2 2 3 4

排列的dp数组
1 1 1
1 1 1
1 2 2
2 3 3
3 5 5
5 8 9

• 一种记忆方法：先遍历物品（物品不会重复被取得）为组合

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        int itemSize = coins.length;

        // 初始化
        dp[0] = 1;

        // 递归推导
        for(int i = 0; i < itemSize; i++){
            // 先物品后背包就可以保证是组合而不是排列
            for(int j = coins[i]; j < amount+1; j++){
                // 因为减去coins[i]的面值，就是可以凑出的方法数。
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
                System.out.println(dp[j]);
            }
            System.out.println("*");
        }

        // for(int j = 0; j < amount+1; j++){
        //     // 先背包后物品就可以保证是排列而不是组合
        //     // for(int j = i; j < amount+1; j++){
        //     for(int i = 0; i < itemSize; i++){
        //         // 因为减去coins[i]的面值，就是可以凑出的方法数。
        //         if(j - coins[i] >= 0)
        //             dp[j] += dp[j - coins[i]];
        //         System.out.println(dp[j]);
        //     }
        //     System.out.println("*");
        // }

        return dp[amount];
    }
}

377.组合总和IV

• 动态规划五步曲：
  ① 确定dp[i]的含义 ： 装满容量为i的背包有dp[i]种方法(排列)。
  ② 求递推公式 ： dp[j] += dp[j - coins[i]] (装满背包的方法数的相关问题的统一递归公式)
  ③ dp数组如何初始化 ： dp[0] = 1 （若dp[0] = 0，则所有的全部为0。）
  ④ 确定遍历顺序 ： 从前向后，先背包后物品
  ⑤ 打印dp数组

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target+1];
        int itemSize = nums.length;
        Arrays.sort(nums);

        // 初始化
        dp[0] = 1;

        // 递归推导
        for(int j = 0; j < target+1; j++){
            // 先背包后物品就可以保证是排列而不是组合
            for(int i = 0; i < itemSize && j >= nums[i] ; i++){
                // 因为减去coins[i]的面值，就是可以凑出的方法数。
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
                // System.out.println(dp[j]);
            }
            // System.out.println("*");
        }

        return dp[target];
    }
}

---

学习时间：

• 上午两个半小时，整理文档半小时。