章一 函数与极限——01映射与函数——（1）映射

同济七版    P1-3

一、映射

映射的定义：

X、Y非空集合，存在对应法则f，使得X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，

记作：f：X→Y

y是x的像，y=f（x）

x是y的一个原像，

X是f的定义域，记作，

=X

X中所有元素的像组成的集合称为f的值域，记作 或f（X）

 = f（X）= 

解释：符号R：Range 范围     D：Domain 域/定义域

特别注意：

1. Y ，  是 Y 的子集，但  不一定等于 Y；

2. x 对应的 y 只能有一个，y 对应的 x 可以有多个；

分支概念：

01. 满射：f：XY，Y中任一元素y都是X中某元素的映射，满射时：

02. 单射：f：XY，X中任意两个元素，Y中x的像

（此处注意：的集合可能）

03. 双射：即一一映射，满足满射的条件：f 是单射，同时是满射。

04. 算子：映射的别称。

（①上的泛函：X是非空集合，，称为上的泛函。关于泛函，我看到一种通俗的理解：函数的函数。

   ②上的变换：X是非空集合，，即定义域和值域都是

   ③上的函数：都是实数集，。这个比较简单，不赘述）

暂无相关例题，待补充……

二、逆映射与复合映射

1、逆映射

有一个映射，值域。

如果定义一个新的映射，从到，就有：

是的逆映射（还要满足条件：①；②）

这个逆映射可以有几种形式：

    或      

逆映射的定义域：  （原来映射的值域变成了新映射定义域）

逆映射的值域：    （原来映射的定义域变成新映射的值域）

特别注意：只有单射（包括双射）才有逆映射。

逆映射举例：正弦函数

                 

         ,      

对于逆映射：         

【即映射与逆映射的定义域、值域互换】

2、复合映射

现有两个映射：

          

如果 ，  到 可以产生一个新的对应法则（新映射），同时，与也构成复合映射。

记作：

其对应法则：

表达式： , 

划重点：

① 与 构成复合函数的条件：

②  有意义有意义       

     与  均有意义  

书本例子：

求复合函数  的值。

和构成复合映射，

  ,     ,       （自变量是）

  ,     ,         （自变量是）

求复合函数的值。

解：

延伸：关于计算过程  运用了三角函数公式中的平方关系公式。

平方关系公式：

① 

②         是正割函数，是  的倒数。

【关于：

（以图上三角形为例）                                     

的函数图像如下：

正割函数

更详细的解释见：sec x 正割函数】

③ 

  ：余切函数，

 ：余割函数，

【关于：

在三角函数中，  

例如，有一三角形：

               （即邻边比对边）

坐标轴中，，余切函数的图像：

余切函数

】

【关于（余割函数）：

 是的倒数，即

在三角形中，

（斜边比对边）

在直角坐标系中，

函数图像如下：

余割函数

】

补充：更多的三角函数公式：