1.1-1.2 随机现象、概率的概念与性质

第一章随机事件与概率

1.1 随机现象与数据

确定性现象

什么是确定？
- 可重复验证
什么是必然？
- 与预测相一致

随机现象

个别实验结果呈现不确定性，大量重复实验又具有统计规律性的现象
- 随机就是“不确定”？
- 真正的“随机”是什么样的？

概率论 (Theory of Probability)：揭示和研究随机现象的统计规律性的数学学科
统计学 (Statistics)：通过收集、整理、分析数据等手段以达到推断或预测考察对象本质或未来的学科

数理统计为概率论面向实际问题提供联系桥梁
概率论为数理统计方法合理性提供理论保证

1.2 随机事件

随机试验：对随机现象的观测
总体：试验中关心的某个数量指标
个体或样品：总体中的某个具体取值
样本：从总体中独立、重复地取出的若干样品，取出的样品数量称为样本的容量
基本事件（样本点）：试验产生的基本结果，用表示
样本空间：全体样本点的集合，用表示
事件：（满足一定条件的）样本点的集合，一般用大写字母表示，若试验结果的样本点属于该集合，则称该事件发生
事件域：中全体事件构成的集合，记为
自行了解如下的概念：平均数（平均值）、中位数、众数、方差、标准差、极差、变异系数差

例1：掷一个骰子，观察得到的点数
样本点：
样本空间：
事件：出现的点数不超过，可表示为

事件：出现的点数为偶数，可表示为

例2：抛两个骰子，观察得到的总点数
样本点：
样本空间：

例3：抛两个骰子，观察点数的组合
样本点：，其中
样本空间：

注意例2和例3虽然都是掷两个骰子，但由于观测的方式不同，所以是不同的（随机）试验！

例4：试验：研究某地一段时间的气温变化情况，连续观察天的日最低气温与最高气温.
的样本空间：
$\Omega = \left\{ \left[ \left( t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | t _ { i } , T _ { i } \in \mathbb{R} , t _ { i } \leq T _ { i } , i = 1,2,3 \right\}$
事件“连续天气温都在到之间”
$A = \left\{ \left[ \left( t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | 28 \leq t _ { i } \leq T _ { i } \leq 36 , i = 1,2,3 \right\}$
事件“连续3天最高气温超过”
$B = \left\{ \left[ (t _ { 1 } , T _ { 1 } \right) , \left( t _ { 2 } , T _ { 2 } \right) , \left( t _ { 3 } , T _ { 3 } \right) \right] | t _ { i } \leq T _ { i } , T _ { i } > 40 , i = 1,2,3 \}$
有没有其他的方法来表示以上的两个事件？

基本事件：单个样本点构成的事件，也即
必然事件：每次试验中都会发生的事件，也即
不可能事件：每次试验中都不会发生的事件，也即（空集）
对立事件：事件不发生的事件，记为，显然

事件的关系与运算

or 至少有一个会发生，称为事件的和事件
and 同时发生，称为事件的积事件
- 有限个事件的积事件和可列个事件的积事件：
  $\begin{array} { l } { \bigcap \limits_ { k = 1 } ^ { n } A _ { k } = \{ \omega | \omega \in A _ { k } , k = 1,2 , \cdots , n \} } \\ { \bigcap \limits_ { k = 1 } ^ { \infty } A _ { k } = \{ \omega | \omega \in A _ { k } , k = 1,2 , \cdots \} } \end{array}$
发生但不发生，称为事件的差（事件）
- 特别地，若，则称为真差
，则称互不相容或互斥，也即不会同时发生
逆事件（或对立事件）：若

或者说

事件的运算规律

交换律：
结合律：
分配律：
De Morgan律：

$\overline{\bigcup _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k }} = \bigcap _ { k = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { k } , \quad \overline{\bigcap _ { k = 1 } ^ { n } A _ { k }} = \bigcup _ { k = 1 } ^ { n } \overline { A } _ { k }$

课后思考题：习题一：1，2，3，4，5