CP4.矩阵的LU分解

LU分解

将矩阵A分解成的形式，称作矩阵LU分解，L代指下三角矩阵，U代指上三角矩阵。首先用到的是前面讲过的消元法，以下为例子：

通过消元操作，最后矩阵A变成了一个上三角矩阵U，那么只要上式左乘一个，就可以转化为

这里的就是L矩阵了。，所以。

也可以表达成如下形式，把U矩阵的主元提取出来。

对于三阶矩阵不需要换行进行消元的情况，就是说如果一个三阶矩阵，只通过初等行变换就能完成消元的情况下，假设其步骤为：

通过求逆可得矩阵A的LU分解为：

假设某三阶矩阵的消元矩阵如下

先把这几个矩阵相乘，对A进行初等行变换，然后求逆获得L矩阵

很明显，上述矩阵的逆矩阵

这里存在一个问题，按常规顺序计算的时候，E矩阵的第三行出现了10这个元素，说明第一行参与了10次运算，被反复调用。那么是否存在更快捷的方法呢？或需我们可以直接计算各消元矩阵的逆，然后直接相乘。

很明显，直接计算L矩阵比利用相乘再求逆要快的多，但是用计算机处理的时候看不出来而已。

消元法计算次数

在进行超大规模矩阵运算的时候，不得不考虑所需要的运算量，如果我们把“先乘后减”记为一次运算，那么对于一个nxn矩阵，对于一行进行消元要进行n次运算，由于有n行所以进行了nxn次运算，结果得到了第一列除第一主元外都消成0的矩阵。随后开始对除第一行第一列之外的剩余部分进行消元，这相当于一个(n-1)x(n-1)的矩阵，那么就要进行(n-1)x(n-1)次运算，以此类推。

最后需要的运算次数为1x1+2x2+……+nxn，利用积分公式可以估算其数值。