【形式语言与自动机】【《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记】第六章：上下文无关语言

6.1|上下文无关文法

派生树

• 设有$CFGG=(V,T,P,S)$，$G$的派生树是满足如下条件的（有序）树

  • 树的每个顶点有一个标记$X$，且$X\in V\cup T\cup \{\epsilon \}$
  • 树根的标记为$S$
  • 如果一个非叶子顶点$v$标记为$A$，$v$的儿子从左到右依次为$v_1$，$v_2$，$\cdots$，$v_n$，并且它们分别标记为$X_1$，$X_2$，$\cdots$，$X_n$，则$A\to X_1{X}_2\cdots X_n\in P$
  • 如果$X$是一个非叶子顶点的标记，则$X\in V$
  • 如果一个顶点$v$标记为$\epsilon$，则$v$是该树的叶子，并且$v$是其父顶点的唯一儿子

• 派生树也称为生成树、分析树、语法树

• 设有文法$G$的一颗派生树$T$，$v_1$和$v_2$是$T$的两个不同的顶点，如果存在顶点$v$，$v$至少有两个儿子，使得$v_1$是$v$的较左儿子的后代，$v_2$是$v$的较右儿子的后代，则称顶点$v_1$在顶点$v_2$的左边，顶点$v_2$在顶点$v_1$的右边

派生树的结果

• 设有文法$G$的一颗派生树$T$，$T$的所有叶子顶点从左到右依次标记为$X_1$，$X_2$，$\cdots$，$X_n$，则称符号串$X_1{X}_2\cdots X_n$是$T$的结果
• 对于任意一个$CFGG$，称“$G$的结果为$\alpha$的派生树”为$G$的对应于句型$\alpha$的派生树，简称为句型$\alpha$的派生树

派生子树

• 派生子树不需要满足树根的标记为$S$
• 如果这个子树的根标记为$A$，则称之为$A$子树

定理$1$

• 设$CFGG=(V,T,P,S)$，$S\stackrel{\ast }{}\alpha$的充分必要条件为$G$有一棵结果为$\alpha$的派生树

最左派生和最右派生

• 设有$CFGG=(V,T,P,S)$，$\alpha$是$G$的一个句型

• 如果在$\alpha$的派生过程中，每一步都是对当前句型的最左变量进行替换，则称该派生为最左派生，每一步所得到的句型称为左句型，相应的归约称为最右归约

• 如果在$\alpha$的派生过程中，每一步都是对当前句型的最右变量进行替换，则称该派生为最右派生，每一步所得到的句型称为右句型，相应的归约称为最左归约

• 最右派生称为规范派生，规范派生产生的句型称为规范句型，相应的归约称为规范归约

定理$2$

• 如果$\alpha$是$CFGG$的一个句型，则$G$中存在$\alpha$的最左派生和最右派生

二义性

• 设有$CFGG=(V,T,P,S)$，如果存在$w\in L(G)$，$w$至少有两颗不同的派生树，则称$G$是二义性的，否则称$G$为非二义性的
• 没有一个一般的方法来证明一个文法不是二义性的，判定任给$CFGG$是否为二义性的问题是一个不可解的问题
• 如果语言$L$不存在非二义性文法，则称$L$是固有二义性的，又称$L$是先天二义性的

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