运筹学经典问题（五）：多商品流运输问题

问题描述

前面介绍了多商品网络流（MCNF）问题，今天要介绍的多商品流运输问题（Mulit-commodity Transportation Problem, MCTP）与MCNF的唯一差异别：MCTP要求商品直接从供应商运送到客户，没有中间流转的路径。

数学模型

集合：
$S$：供应商的集合；
$C$：客户的集合；
$A$：网络中弧段的集合，$A=(i,j)|i\in S,j\in C$；
$K$：商品流的集合，$k\in K$；

常量：
$s_i^k$：供应商$i$（$i\in S$）供应商品$k$的量；
$d_j^k$：用户$j$（$j\in C$）对商品$k$的需求量；
$c_{ij}^k$：在弧段$(i,j)$上运输商品$k$的单位成本；
$u_{ij}$：弧段$(i,j)$的容量；

决策变量：
$x_{ij}^k$：在弧段$(i,j)$上运输商品$k$的量；

$$\begin{gathered} min\sum _{(i,j)\in A}\sum _{k\in K}{c}_{ij}{x}_{ij} \\ s.t.\sum _{j\in C}{x}_{ij}^k=s_i^k,\forall i\in S \\ \sum _{i\in S}{x}_{ij}^k=d_j^k,\forall j\in C \\ \sum _{k\in K}{x}_{ij}^k\le u_{ij},\forall (i,j)\in A \end{gathered}$$

1. 目标函数表示最小化运输成本；
2. 第一个约束表示：对于每个供应商而言，其供应量与运输量应该相等；
3. 第二个约束表示：对于每个用户而言，给其运输的货量应该与其需求量相等；
4. 第三个约束表示：弧段上的运输量不应该超过弧段的最大容量。

参考资料

1. 运筹优化常用算法、模型及案例实战：Python+Java 实现. 刘兴禄，熊望祺，臧永森，段宏达，曾文佳，陈伟坚.
2. Ji, Ping et al. “A Mathematical Model for a Multi-Commodity, Two-Stage Transportation and Inventory Problem.” International Journal of Industrial Engineering-theory Applications and Practice 15 (2008): 278-285.