MATLAB基础知识之数组与矩阵
本文是参考书籍《MATLAB R2020a完全自学一本通 》自己整理的一些笔记和一些练习，希望会给大家带来一些帮助。
目录
1、数组创建与运算
1.1数组的创建
1.2数组的运算
1.2.1 算术运算
1.2.2关系运算与逻辑运算
2、矩阵的构造与操作
2.1矩阵的构造
2.2矩阵的操作
2.3矩阵索引
2.4矩阵信息的获取
2.4.1矩阵的结构
2.4.2矩阵大小
2.4.3矩阵的内部元素类型信息获取
2.5矩阵分析
2.6特征值和特征向量
2.7稀疏矩阵
2.7.1稀疏矩阵的创建
2.7.2稀疏矩阵的信息获取
2.7.3特殊稀疏矩阵的创建
1、数组创建与运算
1.1数组的创建
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在 MATLAB 中一般使用方括号 “[ ]” 、逗号 “,” 、空格和分号 “;” 来创建数组，数组中同一行的元素使用逗 号或空格进行分隔，不同行之间用分号进行分隔；
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可以通过冒号创建一维数组；
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通过 logspace() 函数创建一维数组；
用法：y=logspace(a,b,n) ：该函数创建行向量 y ，第一个元素为 10 a ，最后一个元素为 10 b ，形成总数为 n 个元素的等比数列。
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通过 linspace() 函数创建一维数组；
用法：y=linspace(a,b,n)：该函数创建行向量 y ，第一个元素为 a ，最后一个元素为 b ，形成总数为 n 个元素的线性间隔向量
1.2数组的运算
1.2.1 算术运算
数组的运算是从数组的单个元素出发，针对每个元素进行的运算。在 MATLAB 中，一维数组的算术运 算包括加、减、乘、左除、右除和乘方( 两个数组的维数须相同 )。
数组的乘除运算：通过格式 “.*” 或 “./” 可实现数组的乘除运算。
乘法：数组 A 和 B 的维数相同，运算为数组对应元素 相乘 ，计算结果与 A 和 B 是相同维数的数组。
除法：数组 A 和 B 的维数相同，运算为数组对应元素 相除 ，计算结果与 A 和 B 是相同维数的数组。
乘方格式“.^”实现数组的乘方运算。数组的乘方运算包括数组间的乘方运算、数组与某个具体数的乘方运算，以及常数与数组的乘方运算。 
函数dot()可实现数组的点积运算。
1.2.2关系运算与逻辑运算
MATLAB提供的关系运算符与逻辑运算符可参考上篇所述。
关系运算的运算法则如下：
● 当两个比较量是标量时，直接比较两个数的大小。若关系成立，则返回的结果为 1 ，否则为 0 。
● 当两个比较量是维数相等的数组时，逐一比较两个数组相同位置的元素，并给出比较结果。最终的关系运算结果是一个与参 与比较的数组维数相同的数组，其组成元素为0 或 1 。
逻辑运算的运算法则如 下：
● 如果是非零元素则为真，用 1 表示；如果是零元素则为假，用 0 表示。
● 当两个比较量是维数相等的数组时，逐一比较两个数组相同位置的元素，并给出比较结果。最终的逻辑运算结果是一个与参与比较的数组维数相同的数组，其组成元素为0 或 1 。
● 在进行与运算（a&b）时， a 、 b 全为非零，则为真，运算结果为 1 。在进行或运算（a|b）时，只要 a 、 b 有一个为非零，则运算 结果为1 。在进行非运算（~a ）时，若 a 为 0 ，则运算结果为 1 ；若 a 为非零，则运算结果为 0 。
2、矩阵的构造与操作
2.1矩阵的构造
矩阵的构造方式除了通过直接对变量赋值以外另外一种及可以通过MATLAB所提供的构造特殊矩阵的函数。
| 名称 | 功能 | 名称 | 功能 |
| ones(n) | 构造n x n的全1阵 | ones(m,n,...,p) | 构造一个mxnx...p的1矩阵 |
| ones(size(A)) | 构造和A同样大小的全1阵 | ||
| zeros(n) | 构造n x n的零矩阵 | eye(n) | 构造n x n的单位阵 |
| magic(n) | 构造n x n的矩阵，其中每一行、每一列元素之和都相等 | rand(n) | 构造n x n的矩阵,其元素为0~1之间均匀分布的随机数 |
| randn(n) | 构造n x n的矩阵，其元素为零均值、单位方差的正态分布的随机数 | diag(x) | 构造n x n的方阵，主对角线元素取自向量x，其余元素为0 |
| diag(A,k) | 构造由A第k条主对角线元素组成的列向量 k=0为对角线元素，k<0,为下第k条对角线；k>0,为上第k条对角线 |
||
| triu(A) | 构造一个和A大小相同的上三角矩阵 | triu(A,k) | 构造一个和A大小相同的上三角矩阵,其第k条及其以上的元素为A中相应的元素 |
| tril(A) | 构造一个和A大小相同的下三角矩阵 | tril(A,k) | 构造一个和A大小相同的上三角矩阵,其第k条及其以下的元素为A中相应的元素 |
2.2矩阵的操作
矩阵的操作主要有旋转矩阵、改变矩阵维度、删除矩 阵元素等。MATLAB 中提供的具体此类函数如下表：
| 函数名称 | 函数功能 |
| fliplr(A) | 矩阵每一行均进行逆序排列 |
| flipud(A) | 矩阵每一列均进行逆序排列 |
| flipdim(A,dim) | 生成一个在 dim维矩阵A内的元素交换位置的多维矩阵 |
| rot90(A) | 生成一个由A旋转90度的新矩阵 |
| rot90(A,k) | 生成一个由A旋转90xk度的新矩阵 |
| reshape(A,m,n) | 生成一个mxnx...xp维矩阵，其元素以线性索引的方式从A中获得 |
| sort(A,x) | 对矩阵A进行升序排列并返回排列后的矩阵，当x=1,对每一列进行排序；当x=2时对每一行进行排序 |
| sort(A,x,mode) | mode= ascend时进行升序排列 mode=descend时进行降序排列 |
| cat(dim,A,B) | 将A和B组合成一个dim维的多维矩阵（注意矩阵的形状） |
2.3矩阵索引
在 MATLAB 中，二维数组元素的数字访问可以分为双下标索引和单下标索引。双下标索引是通过一个 二元数组对来对应元素在矩阵中的行列位置，例如A (2,3) 表示矩阵 A 中第 2 行第 3 列的元素。单下标索引的方式是采用列元素优先的原则，对m 行 n 列的矩阵按列排序进行重组，成为一维数组，再取新的一维数组中的 元素位置对应的值作为元素在原矩阵中的单下标。例如对于4×4 的矩阵， A (6) 表示矩阵 A 中第 2 行第 2 列的元 素。
| 矩阵索引表达式 | 函数功能 |
| A(:,j) | 返回矩阵A中第j列的元素 |
| A(i,:) |
返回矩阵A中第i行的元素 |
| A(:,j:k) | 返回矩阵A中第j列到第k列的元素 |
| A(i:k,:) | 返回矩阵A中第i行到第k行的元素 |
| A(i:k,j:k) | 返回由二维矩阵A中的第i行到第k行行向量和第j列到第1列列向量的交集组成的子矩阵 |
| A(:) | 将矩阵A中的每列合并成一个长的列向量 |
| A([i1,i2,...],[j1,j2,...]) | 返回矩阵A中第i1行、第i2行等和第j1列、第j2列等的元素 |
单下标索引值和双下标索引值之间，可以通过 MATLAB 内部函数进行转换即
2.4矩阵信息的获取
矩阵的信息主要包括矩阵结构、矩阵大小、矩阵维度、矩阵的数据类型及矩阵占用的内存等
2.4.1矩阵的结构
| 函数名称 | 函数功能 |
| isempty(A) | 检测矩阵是否为空 |
| isscalar(A) | 检测矩阵是否为单元素标量 |
| isvector(A) | 检测矩阵是否为只有一列或一行的一维向量 |
| issparse(A) | 检测矩阵是否为稀疏矩阵 |
这类函数的返回值是逻辑类型的数据。返回值为 “1” 表示该矩阵是某一特定类型的矩阵；返回值为 “0” 表 示该矩阵不是该特定类型的矩阵。
2.4.2矩阵大小
| 函数 | 函数功能 |
| n=ndims(A) | 获取矩阵的维数 |
| [m,n] = size(A) | 获取矩阵各维的长度 |
| n= length(A) | 获取矩阵最长维的维数 |
| n = numel(A) | 获取矩阵元素的个数 |
2.4.3矩阵的内部元素类型信息获取
矩阵作为 MATLAB 的内部数据存储和运算结构，其元素可以是各种各样的数据类型 ， 对应不同数据类型的元素，可以是数值、字符、结构体等。MATLAB 中提供了一系列关于数据类型的测试函数。
| 函数名称 | 函数功能 |
| isnumeric(A) | 检测矩阵A元素是否为数值型变量 |
| isreal(A) | 检测矩阵A元素是否为实数数值型变量 |
| isfloat(A) | 检测矩阵A元素是否为浮点数值型变量 |
| isinteger(A) | 检测矩阵A元素是否为整数型变量 |
| islogical(A) | 检测矩阵A元素是否为逻辑型变量 |
| ischar(A) | 检测矩阵A元素是否为字符型变量 |
| isstruct(A) | 检测矩阵A元素是否为字符型变量 |
| iscell(A) | 检测矩阵A元素是否为元胞型变量 |
| iscellstr(A) | 检测矩阵A元素是否为元胞型变量 |
2.5矩阵分析
在 MATLAB 中，用在函数后面加撇号 “ ' ” 来表示矩阵的转置。
MATLAB 中函数 find() 的作用是进行矩阵元素的查找，它通常与关系函数和逻辑运算相结合。其调用格式如下：
● ind=find(X) ：该函数查找矩阵 X 中的非零元素，函数返回这些元素的单下标。
● ind=find(X=0) ：该函数查找矩阵 X 中的零元素，函数返回这些元素的单下标。
● [row,col]=find(X,...) ：该函数查找矩阵 X 中的非零元素，函数返回这些元素的双下标 i 和 j 。
MATLAB 中函数 sum()和cumsum() 的作用是对矩阵的元素求和。其调用格式如下：
● B=sum(A) ：该函数对矩阵 A 的元素求和，返回由矩阵 A 各列元素的和组成的向量。
● B=sum(A,dim) ：该函数返回在给定的维数 dim 上元素的和。当 dim=1 时，计算矩阵 A 各列元素的 和；当 dim=2 时，计算矩阵 A 各 行元素的和。
MATLAB 中函数 prod()和cumprod() 的作用是对矩阵的元素求积。其调用格式如下：
● B=prod(A) ：该函数对矩阵 A 的元素求积，返回由矩阵 A 各列元素的积组成的向量。
● B=prod(A,dim) ：该函数返回在给定的维数 dim 上元素的积。当 dim=1 时，计算矩阵 A 各列元素的积；当 dim=2 时，计算矩阵 A 各行元素的积。
MATLAB 中函数 diff() 的作用是计算矩阵元素的差分。其调用格式如下：
● Y=diff(X,n,dim)：计算矩阵在给定的维数dim上元素的n阶差分。当dim=1时，计算矩阵各列元素的差分；当dim=2时，计算矩 阵各行元素的差分。
| 函数名称 | 函数功能 |
| norm(x,p) |
对任意大于 1 的 p 值，返回向量或者矩阵 的 p 阶范数。
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| normest(A) normest(A,tol)
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估计矩阵A的2阶范数（当一个近似的范数值满足要求时） 使用tol作为允许的相对误差。 |
| rank(A) | 矩阵A的秩，即求对角元素 |
| det(A) | 矩阵A的行列式 |
| trace | 矩阵的迹(矩阵对角元素之和) |
| null(A) | 矩阵的0空间 |
| orth(A) | 正交化空间 |
| rref(A) | 约化行阶梯形式 |
| subspace | 求两个矩阵空间的角度 |
2.6特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义学过线代的都清楚，这里不过多赘述，下面简单介绍一些相关函数。
eig(A)：求包含矩阵A的特征值的向量。
[X,D]=eig(A)： 产生一个矩阵 A 的特征值在对角线上的对角矩阵 D 和矩阵 X ，它们的列是相应的特征向量，满足 AX=XD 。为了得到有更好条件特征值的矩阵，要进行相似变换。
[T,B]=balance(A)： 找到一个相似变换矩阵 T 和矩阵 B ，使得它们满足 B=T-A∙T 。
eig(A,'nobalance')： 不经过平衡处理求得矩阵 A 的特征值和特征向量，也就是不进行平衡相似变换。
eigs(A)： 返回一个由矩阵 A 的部分特征值组成的向量，和 eig 命令一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计算
出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵 A 的秩不小于 6 ，则计算出 6 个特征值。
eigs(f,n)： 求出矩阵 A 的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算符时，字符串 f 中包含的是 M 文件的文件名， n 指定问题的 阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快。
eigs(A,B,k,sigma)： 求矩阵 A 的部分特征值，矩阵 B 的大小和A相同；如果没有给出B=eye(size(A))，那么k就是要计算的特征值 的个数；如果k没有给出，就用小于6 的数或者A的秩。
变量sigma是一个实数或复数的移位参数，或者下列文本字符串中的一个，文本字符串指明的是特征值的属性：“lm”为最大的特征值，“sm”为最小的特征值，“lr”为最大的实数部分，“sr”为最小的实数部 分，“be”为同时求得最大和最小的实数部分。
condeig(A) ：返回一个由矩阵 A 的特征值条件数组成的向量。
[V,D,s]=condeig(A) ：返回 [V,D]=eig(A) 和 s=condeig(A) 。
2.7稀疏矩阵
在许多问题中涉及到的矩阵含有大量的0元素，其被称为稀疏矩阵。MATLAB中考虑到矩阵的稀疏性，在对它进行运算时有特殊的命令。为减少存储空间稀疏矩阵存储时只对非零元素下标和值进行储存。
2.7.1稀疏矩阵的创建
| 函数用法 | 功能 |
| sparse(A) | 由非零元素和下标创建稀疏矩阵A。如果A已是一个稀疏矩阵，则返回A本身 |
| sparse(m,n) | 生成一个mxn的所有元素都是0的稀疏矩阵 |
| sparse(u,v,a) | 生成大小为max(u)×max(v)的稀疏矩阵。其中u和v是整数向量（向量长度必须相同），a为实数或复数向量 |
| sparse(u,v,a,m,n) | 生成一个mxn的稀疏矩阵，(ui,vi)对应值ai。向量u、v和 a长度必须相同 |
| spconvert(D) | 生成一个稀疏矩阵D。D共有3列，第1列为行下标，第2列为列下标，最后一列为元素值 |
| full(S) | 将稀疏矩阵S转换成一个满矩阵 |
2.7.2稀疏矩阵的信息获取
| 函数 | 函数功能 |
| nnz(B) | 查看非零元素的个数 |
| nonzeros(B) | 查看非零元素值 |
| nzmax(B) | 查看稀疏矩阵存储空间 |
| spy(B) |
图形化显示非零元素的分布
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nnz(S)/prod(size(S))
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计算稀疏矩阵的非零元素密度 |
2.7.3特殊稀疏矩阵的创建
| 函数 | 函数功能 |
| speye(m,n) | 创建单位稀疏矩阵 |
| spones(B) | 创建非零元素为1的稀疏矩阵 |
| sprand(B) | 创建非零元素为均匀分布的随机数的稀疏矩阵 |
| sprandn(B) | 创建非零元素为高斯分布的随机数的稀疏矩阵 |
| sprandsym(B) | 创建非零元素为高斯分布的随机数的对称稀疏矩阵 |
| sprandsym(B) | 创建对角稀疏矩阵 |
| sprandsym(B) | 为稀疏矩阵分配空间 |
对于矩阵的加、减、乘、除运算，只要其中有一个矩阵是满矩阵，则输出的结果都是满矩阵。
稀疏矩阵的数乘为稀疏矩阵；稀疏矩阵的幂为稀疏矩阵。