给定两个字符串 text1
和 text2
,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0
。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。
例如,"ace"
是 "abcde"
的子序列,但 "aec"
不是 "abcde"
的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1:
输入:text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3
示例 2:
输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3
示例 3:
输入:text1 = "abc", text2 = "def"
输出:0
解释:两个字符串没有公共子序列,返回 0 。
提示:
1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1
和text2
仅由小写英文字符组成。
动态规划步骤:
(1)dp状态:
dp[i][j]表示以text1[i]、text2[j]为结尾的两个字符串中最长公共子序列的长度;
(2)状态转移方程:
text1[i] == text2[j]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
text1[i] != text2[j]:max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
(3)初始化状态:
第0行第0列:text1[0] == text2[0]:dp[0][0] = 1;text1[0] != text2[0]:dp[0][0] = 0;
第0行:text1[i] == text2[0]:dp[i][0] = 1;text1[i] != text2[0]:dp[i][0] = dp[i - 1][0];
第0列:text1[0] == text2[i]:dp[0][1] = 1;text1[0] != text2[i]:dp[0][i] = dp[0][i-1];
(4)最优解:
dp[n-1][m-1] ;
算法描述:
核心思想是通过填充 dp
数组,逐步构建最长公共子序列的长度,考虑字符是否匹配。
- 首先,获取输入字符串
text1
和text2
的长度,并创建一个二维数组dp
,其大小为(n+1) x (m+1)
,其中n
和m
分别是两个字符串的长度。dp[i][j]
表示text1
的前i
个字符和text2
的前j
个字符的最长公共子序列的长度。- 初始化
dp
数组的第一行和第一列:遍历两个字符串的首字符,如果它们相等,将dp[0][0]
设置为1,否则将其保留为0。接着,初始化第一行和第一列的其余部分,以表示以text1[0]
或text2[0]
开头的子序列。- 使用两个嵌套循环遍历
text1
和text2
的每个字符(除去第一个字符),填充dp
数组。如果当前字符相同(text1[i] == text2[j]
),则将dp[i][j]
设置为左上角的对角元素值加1,表示找到了一个更长的公共子序列。如果当前字符不同,将dp[i][j]
设置为左边或上边的较大值,表示要么继承左边的最长子序列长度,要么继承上边的最长子序列长度。- 最终,
dp[n-1][m-1]
中存储的值即为text1
和text2
的最长公共子序列的长度。
// 定义一个函数,该函数返回两个整数指针中的较大值
int max_(int *a, int *b) {
// 比较两个指针的值,返回较大的指针
if (a > b) {
return a;
}
return b;
}
// 定义一个计算两个字符串的最长公共子序列的函数
int longestCommonSubsequence(char *text1, char *text2) {
// 获取字符串text1和text2的长度
int n = strlen(text1);
int m = strlen(text2);
// 创建一个二维数组dp,用于存储最长公共子序列的长度
int dp[n][m];
// 初始化dp数组,将所有元素设置为0
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
dp[i][j] = 0;
}
}
// 初始化dp数组的第一个元素
if (text1[0] == text2[0]) {
dp[0][0] = 1;
}
// 处理第一列,初始化以text1[0]为开头的子序列
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (text1[i] == text2[0]) {
dp[i][0] = 1;
} else {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
}
}
// 处理第一行,初始化以text2[0]为开头的子序列
for (int i = 1; i < m; i++) {
if (text1[0] == text2[i]) {
dp[0][i] = 1;
} else {
dp[0][i] = dp[0][i - 1];
}
}
// 填充dp数组的其余部分,找到最长公共子序列的长度
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
if (text1[i] == text2[j]) {
// 如果字符相同,将dp[i][j]设置为左上角值加1
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
// 如果字符不相同,将dp[i][j]设置为左边和上边的较大值
dp[i][j] = max_(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
// 返回dp数组的最右下角元素,即最长公共子序列的长度
return dp[n - 1][m - 1];
}
时间复杂度分析:
- 初始化
dp
数组的两个嵌套循环(for
循环嵌套)需要遍历整个数组,时间复杂度为O(n * m),其中 n 和 m 分别是text1
和text2
的长度。- 接下来,还需要一个嵌套循环来填充
dp
数组,这个循环也需要遍历整个dp
数组,时间复杂度为O(n * m)。- 总的时间复杂度是O(n * m + n * m),即O(n * m)。
算法的时间复杂度是 O(n * m),其中 n 和 m 分别是输入字符串 text1
和 text2
的长度。
空间复杂度分析:
dp
数组的空间复杂度是O(n * m),因为它是一个二维数组,其大小与输入字符串的长度相关。
综上所述,这段代码的空间复杂度是 O(n * m),时间复杂度是 O(n * m)
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