动态规划——斐波那契数列模型：1137.第N个泰波那契数

题目描述

题目链接：1137.第N个泰波那契数

算法原理

如果我们采用动态规划的思想来解决这道问题的话，我们的过程一般是分五步来解决的：

1.状态表示(最重要的）

什么是状态表示？

首先我们要先确定一个状态表示。那第一次接触动态规划的同学可能就有些疑问了，什么是状态表示呢？通俗的来讲就是，我们会先定义一个dp表，这个dp表可能是一维数组或者二维数组，简单举例一下：

我们做动态规划的流程就是搞一个dp表，然后把他填满，其中一个值可能就是我们的答案，状态表示指的就是dp表中的某个值它所代表的含义(感性理解)。如果我们去直接去百度动态规划的状态表示是什么的话，会出现一堆概念性的专有名词，要是没一两周根本搞不懂，而且会很痛苦，很容易放弃，所以刚开始学的时候我们有一个感性的认知就可以了。

状态表示怎么来的呢？

(PS：很多教学视频上来就给一个状态表示，而不说明状态表示怎么来的，那后续的步骤则显得毫无意义）

1. 题目要求
2. 经验(一两百道题)+题目要求
3. 分析问题的过程中，发现重复子问题(表示动态规划的方式)

第三个看起来也有点抽象，但问题不大，前期跟紧我的节奏，先理解前两步，慢慢的等我们动态规划学的熟练了就会进而引出第三种了。当然也会有其它的，但我这个系列只会涉及这三个。

本题的状态表示

dp[i]：表示第i个泰波那契数的值

2.状态转移方程(最难的）

dp[i]等于什么，状态转移方程就是什么。所以我们要想尽一切办法来让之前的状态或者之后的状态来表示dp[i]。

本题的状态转移方程

题目非常贴心，已经给出：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]

3.初始化(后三步完成剩下百分之一的细节问题）

根据状态转移方程来填表，保证填表的时候不越界

本题的初始化

dp[0]=0，dp[1]=1，dp[2]=1

4.填表顺序

为了填写状态的时候，所需要的状态已经计算过了。

本题的填表顺序

从左向右

5.返回值

题目要求+状态表示

本题返回值

dp[n]

代码实现

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //时间复杂度和空间复杂度都为O(N)
        //处理一些越界情况
        if(n <= 1)return n;
        else if(n == 2)return 1;
        //1.状态表示
        vector<int> dp(n + 1);
        //2.初始化
        dp[0] = 0,dp[1] = 1,dp[2] = 1;
        //3.填表顺序
        for(int i = 3;i <= n;i++)
        {
            dp[i] = dp[i - 3] + dp[i - 2] + dp[i - 1];
        }
        //返回值
        return dp[n];
    }
};

空间优化

每次滚动则之前的数可以舍去。

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) {
        //滚动数组空间优化——空间复杂度从O(N)变为O(1)
        //处理一些边界情况
        if(n <= 1)return n;
        else if(n == 2)return 1;
        //初始化
        int a = 0,b = 1,c = 1,x = 0;
        //填表顺序
        for(int i = 3;i <= n;i++)
        {
            x = a + b + c;
            a = b;
            b = c;
            c = x;
        }
        //返回值
        return x;
    }
};