【Nov 1P2，纠结的递推】数列

      一看这道题就想到DP…但是我错误地认为当时的DP思路有后效性，没有敢打，最后改装了一下最长不降子序列，竟然对了～

 

  
    

   
     
   
     【问题描述】
虽然msh长大了，但他还是和喜欢找点游戏自娱自乐。有一天，他在纸上写了一串数字：
   
     1
   
     ,
   
     1
   
     ,
   
     2
   
     ,
   
     5
   
     ,
   
     4
   
     。
  
    
  
    

   
     接着他擦掉了一个1，结果发现剩下1,
   
     2
   
     ,4都在自己所在的位置上，即1在第1位，2在第2位，4在第4位。
  
    
  
    

   
     他希望擦掉某些数后，剩下的数列中在自己位置上的尽量多。他发现这个游戏很好玩，于是开始乐此不
  
    
  
    

   
     疲地玩起来……不过他不能确定最多能有多少个数在自己的位置上，所有找到你，请你帮忙计算一下
   
     !
   
     
【输入格式】
第1行：1个整数n，表示数列的长度。接下来一行为n个空格隔开的正整数，第i行表示Ai。
【输出格式】
一行一个整数，表示擦掉某些数后，最后剩下的数列中最多能有多少个数在自己的位置上，即Ai
   
     =
   
     i最
  
    
  
    

   
     多能有多少。
【样例输入】

   
     5
   
     

   
     1
   
      
   
     1
   
      
   
     2
   
      
   
     5
   
      
   
     4
   
     
【样例输出】

   
     3
   
     
【数据范围】
对于20
   
     %
   
     的数据，n 
   
     <=
   
      
   
     20
   
     ；
对于60
   
     %
   
     的数据，n 
   
     <=
   
      
   
     100
   
     ；
对于100
   
     %
   
     的数据，n 
   
     <=
   
      
   
     1
   
     ,
   
     000
   
     。
  
    

 

      两种方法。第一种是改装的最长不将子序列。我们将每个数和自己应该在的位置的差记录下来，然后就得到一个新的数列d。我们对这个数列做一下最长不将子序列，但是要注意一点，一定要有数可删。什么意思呢，用数学语言描述就是j-i>d[j]-d[i](j>i)，即在i确定的情况下，从i到j之间至少要有d[j]-d[i]个数以保证可以通过删数让j到它自己的位置上。

      第二种就是普通的DP。思路、方程、代码详见SephirothLee的《数列》一文，地址http://www.cnblogs.com/sephirothlee/archive/2010/10/08/1846073.html

 

参考代码（最长不降子序列）：

 

  
    

   
     
   
      1 
   
     program
   
      sequence;

   
      2 
   
      
   
     var
   
     

   
      3 
   
      n,max,i,j,l:longint;

   
      4 
   
      a,d:
   
     array
   
     [
   
     0
   
     ..
   
     1001
   
     ]
   
     of
   
      longint;

   
      5 
   
      f:
   
     array
   
     [
   
     0
   
     ..
   
     1001
   
     ]
   
     of
   
      longint;

   
      6 
   
      ff:boolean;

   
      7 
   
      
   
     begin
   
     

   
      8 
   
      readln(n);

   
      9 
   
      
   
     for
   
      i:
   
     =
   
     1
   
      
   
     to
   
      n 
   
     do
   
     

   
     10 
   
      
   
     begin
   
     

   
     11 
   
      read(a[i]);

   
     12 
   
      d[i]:
   
     =
   
     i
   
     -
   
     a[i]; 
   
     //
   
     不能写成i
   
     -
   
     a[i]，否则处理方法不同

   
     13 
   
      
   
     end
   
     ;

   
     14 
   
      
   
     for
   
      i:
   
     =
   
     n
   
     -
   
     1
   
      
   
     downto
   
      
   
     1
   
      
   
     do
   
     

   
     15 
   
      
   
     for
   
      j:
   
     =
   
     i
   
     +
   
     1
   
      
   
     to
   
      n 
   
     do
   
     

   
     16 
   
      
   
     if
   
     (d[i]
   
     >=
   
     0
   
     )
   
     and
   
     (d[j]
   
     >=
   
     0
   
     )
   
     and
   
     (d[i]
   
     <=
   
     d[j])
   
     then
   
      
   
     //
   
     如果是负数，就不能通过删数归位

   
     17 
   
      
   
     if
   
      d[j]
   
     -
   
     d[i]
   
     <=
   
     j
   
     -
   
     i
   
     -
   
     1
   
      
   
     then
   
      
   
     //
   
     关键的限制条件

   
     18 
   
      
   
     if
   
     (d[i]
   
     <
   
     i)
   
     and
   
     (d[j]
   
     <
   
     j)
   
     then
   
      

   
     19 
   
      
   
     if
   
      f[j]
   
     +
   
     1
   
     >
   
     f[i] 
   
     then
   
      f[i]:
   
     =
   
     f[j]
   
     +
   
     1
   
     ;

   
     20 
   
      ff:
   
     =
   
     false;

   
     21 
   
      
   
     for
   
      i:
   
     =
   
     1
   
      
   
     to
   
      n 
   
     do
   
     

   
     22 
   
      
   
     if
   
      max
   
     <
   
     f[i] 
   
     then
   
     

   
     23 
   
      
   
     begin
   
     

   
     24 
   
      ff:
   
     =
   
     true;

   
     25 
   
      l:
   
     =
   
     i;

   
     26 
   
      max:
   
     =
   
     f[i];

   
     27 
   
      
   
     end
   
     ;

   
     28      
   
     if
   
     (d[l]
   
     >
   
     l)
   
     or
   
     (d[l]
   
     <
   
     0
   
     )
   
     then
   
      dec(max); 
   
     //
   
     一定要保证第一个数可以归位

   
     29 
   
      
   
     if
   
      ff 
   
     then
   
      writeln(max
   
     +
   
     1
   
     ) 
   
     //
   
     加上最后面的一个

   
     30 
   
      
   
     else
   
      writeln(
   
     '
   
     0
   
     '
   
     ); 
   
     //
   
     如果根本就没有，则输出0

   
     31 
   
      
   
     end
   
     .
  
    

（saltless原创，转载请注明出处）