【推荐系统】推荐算法数学基础

【大家好，我是爱干饭的猿，本文重点介绍推荐系统涉及的数学知识、推荐系统涉及的概率统计知识。
后续会继续分享其他重要知识点总结，如果喜欢这篇文章，点个赞，关注一下吧】

上一篇文章：《【推荐系统】了解推荐系统的生态（重点：推荐算法的主要分类）》

2. 推荐算法数学基础

本章回顾并梳理了学习算法必需的数学知识和统计学知识，帮助大家巩固基础，平滑过渡，为后面学习推荐算法做铺垫。

汗流浃背了吧老弟，全是大学高数和概率论知识！！！

2.1 推荐系统涉及的数学知识

向量

• 既有长度又有方向
  

向量和矩阵的关系

• 由有限个向量组可以构成一个矩阵
• 向量是矩阵的—部分

向量的和

向量和常量的乘法

向量乘积

矩阵与矩阵相乘

• 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数
• 相乘获得的矩阵行数是第一个矩阵的行数，列数是第二个矩阵的列数

矩阵

• 方阵，单位矩阵
• 矩阵的转置:A^T
• 矩阵的逆矩阵:A^-1
• 矩阵的秩

导数

• 导数是用来分析变化的
• 一次函数（直线)的求导，得到的是斜率
• 二次函数（曲线)的求导，得到的是各点切线的斜率

偏导数

• 当存在多个自变量和一个因变量
• 假设其他自变量不变
• 当只有一个自变量变化时，因变量也会随之变化

方向导数

• 一个函数沿指定方向的变化率

梯度

• 梯度是偏导向量的方向
• 沿着偏导向量的方向导数能够取得最大值
• 梯度就是变化最快的方向

凸函数和凹函数

2.2 推荐系统涉及的概率统计知识

均值

• 反映一组数据集中趋势的统计量
• 算术平均数、加权平均数、中位数

数学期望

• 掷骰子游戏，规定掷出1点得到1元，2点得到2元，以此类推
• 求:掷一次它的期望值
  

方差

• 方差是一种特殊的期望
• 是衡量源数据和期望值相差的度量值
• 方差是计算每一个观察值和总体均数之间的差异
  
• A: 40,100,120,70,30。平均成绩=72
• B: 73,70,72,75,70。平均成绩= 72

样本标准差

• 样本标准差=方差的算术平方根
• 方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，难以直观的衡量

协方差

• 协方差是度量两个随机变量关系的统计量
  

相关系数

• X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差的乘积
  
  

概率密度函数

• 离散型变量:取值可以——列出，且总数确定

• 连续型变量:取值无法——列出，且总数不确定

• 概率分布:给出了所有值及其概率，只对离散型变量有意义

• 概率函数:是对概率分布的描述，只对离散型变量有意义

• 概率分布函数:给出了x落在某区间内的概率

• 概率密度函数:给出了x落在某区间内的概率变化快慢

均匀分布

• 任意相同间隔所对应的概率分布都相等
  

正态分布（高斯分布）

中心极限定理

• 正太分布为什么常见，原因是中心极限定理
• 大量相互独立的随机变量，当采样次数足够大
• 不管随机变量呈现什么分布，抽取样本的均值接近正太分布

置信区间

• 标准正太分布是均值为0，标准差为1
  

条件概率公式

• A，B是两个事件，在B发生的条件下，A发生的概率
  

贝叶斯公式

• 贝叶斯公式就是建立在条件概率基础上寻找事件发生的原因