数据结构与算法（图论系列）------并查集详解
并查集被很多OIer认为是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：
- 合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
- 查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。
当然，图论相关的问题，可以用并查集解决时，一般也可以用BFS或DFS来解决，此处不再展开，BFS和DFS相关算法可见此篇 文章。
基本概念
- 并查集是一种数据结构
- 并查集这三个字，一个字代表一个意思：
- 并（Union），代表合并
- 查（Find），代表查找
- 集（Set），代表这是一个以字典（数组也可以）为基础的数据结构，它的基本功能是合并集合中的元素，查找集合中的元素
- 并查集的典型应用是有关连通分量的问题
- 并查集解决单个问题（添加，合并，查找）的时间复杂度都是O(1) 。因此，并查集可以应用到在线算法中
- 并查集跟树有些类似，只不过她跟树是相反的。在树这个数据结构里面，每个节点会记录它的子节点。在并查集里，每个节点会记录它的父节点。
并查集的引入
并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻，把集合比喻成帮派，而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻，看看并查集是如何运作的。
最开始，所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。（对于只有一个元素的集合，代表元素自然是唯一的那个元素）
现在1号和3号比武，假设1号赢了（这里具体谁赢暂时不重要），那么3号就认1号作帮主（合并1号和3号所在的集合，1号为代表元素）。
现在2号想和3号比武（合并3号和2号所在的集合），但3号表示，别跟我打，让我帮主来收拾你（合并代表元素）。不妨设这次又是1号赢了，那么2号也认1号做帮主。
现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并，江湖局势变成下面这样：
现在假设2号想与6号比，跟刚刚说的一样，喊帮主1号和4号出来打一架（帮主真辛苦啊）。1号胜利后，4号认1号为帮主，当然他的手下也都是跟着投降了。
好了，比喻结束了。如果你有一点图论基础，相信你已经觉察到，这是一个树状的结构，要寻找集合的代表元素，只需要一层一层往上访问父节点（图中箭头所指的圆），直达树的根节点（图中橙色的圆）即可。根节点的父节点是它自己。我们可以直接把它画成一棵树：
用这种方法，我们可以写出最简单版本的并查集代码。
代码实现
初始化
int fa[MAXN];
inline void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
fa[i] = i;
}
假如有编号为1, 2, 3, …, n的n个元素，我们用一个数组fa[]来存储每个元素的父节点（因为每个元素有且只有一个父节点，所以这是可行的）。一开始，我们先将它们的父节点设为自己。
查询
int find(int x)
{
if(fa[x] == x)
return x;
else
return find(fa[x]);
}
我们用递归的写法实现对代表元素的查询：一层一层访问父节点，直至根节点（根节点的标志就是父节点是本身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的根节点是否相同即可。
合并
inline void merge(int i, int j)
{
fa[find(i)] = find(j);
}
合并操作也是很简单的，先找到两个集合的代表元素，然后将前者的父节点设为后者即可。当然也可以将后者的父节点设为前者，这里暂时不重要。本文末尾会给出一个更合理的比较方法。
并查集实现的优化
1.路径压缩
最简单的并查集效率是比较低的。例如，来看下面这个场景：
现在我们要merge(2,3)，于是从2找到1，fa[1]=3，于是变成了这样：
然后我们又找来一个元素4，并需要执行merge(2,4)：
从2找到1，再找到3，然后fa[3]=4，于是变成了这样：
大家应该有感觉了，这样可能会形成一条长长的链，随着链越来越长，我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。
怎么解决呢？我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点，那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短，最好只需要一步，像这样：
其实这说来也很好实现。只要我们在查询的过程中，把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时，我们就可以省很多事。这用递归的写法很容易实现：
寻找时（路径压缩）
int find(int x)
{
if(x == fa[x])
return x;
else{
fa[x] = find(fa[x]); //父节点设为根节点
return fa[x]; //返回父节点
}
}
以上代码常常简写成一行：
int find(int x)
{
return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
注意赋值运算符=的优先级没有三元运算符?:高，这里要加括号。
路径压缩优化后，并查集的时间复杂度已经比较低了，绝大多数不相交集合的合并查询问题都能够解决。然而，对于某些时间卡得很紧的题目，我们还可以进一步优化。
2.按秩合并
有些人可能有一个误解，以为路径压缩优化后，并查集始终都是一个菊花图（只有两层的树的俗称）。但其实，由于路径压缩只在查询时进行，也只压缩一条路径，所以并查集最终的结构仍然可能是比较复杂的。例如，现在我们有一棵较复杂的树需要与一个单元素的集合合并：
假如这时我们要merge(7,8)，如果我们可以选择的话，是把7的父节点设为8好，还是把8的父节点设为7好呢？
当然是后者。因为如果把7的父节点设为8，会使树的深度（树中最长链的长度）加深，原来的树中每个元素到根节点的距离都变长了，之后我们寻找根节点的路径也就会相应变长。虽然我们有路径压缩，但路径压缩也是会消耗时间的。而把8的父节点设为7，则不会有这个问题，因为它没有影响到不相关的节点。
这启发我们：我们应该把简单的树往复杂的树上合并，而不是相反。因为这样合并后，到根节点距离变长的节点个数比较少。
我们用一个数组rank[ ] 记录 每个根节点对应的树的深度（如果不是根节点，其rank相当于以它作为根节点的子树的深度）。
一开始，把所有元素的rank（秩）设为1。合并时比较两个根节点，把rank较小者往较大者上合并。路径压缩和按秩合并如果一起使用，时间复杂度接近O(n) ，但是很可能会破坏rank的准确性。
值得注意的是，按秩合并会带来额外的空间复杂度，可能被一些卡空间的毒瘤题卡掉。
初始化（按秩合并）
inline void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
fa[i] = i;
rank[i] = 1;
}
}
合并（按秩合并）
inline void merge(int i, int j)
{
int x = find(i), y = find(j); //先找到两个根节点
if (rank[x] <= rank[y])
fa[x] = y;
else
fa[y] = x;
if (rank[x] == rank[y] && x != y)
rank[y]++; //如果深度相同且根节点不同，则新的根节点的深度+1
}
为什么深度相同，新的根节点深度要+1？如下图，我们有两个深度均为2的树，现在要merge(2,5)：
这里把2的父节点设为5，或者把5的父节点设为2，其实没有太大区别。我们选择前者，于是变成这样：
显然树的深度增加了1。另一种合并方式同样会让树的深度+1。
并查集完整实现
class UnionFindSet{
private: //其他类中需要使用下面成员，记得改为public
vector<int> fa, rank;
public:
//初始化:构造并查集
UnionFindSet(int n){
fa.resize(n);
rank.resize(n);//容量个数别忘了初始化，不然下面不好直接赋值
for(int i = 0; i < n; i++){
fa[i] = i;//根为自身
rank[i] = 1;//秩为1
}
//构造并查集,同上（另一种写法，两者都可以）
UnionFindSet(int n){
for(int i = 0; i < n; i++){
fa.push_back(i);
rank.push_back(1);
}
}
======================================================
//查（路径压缩）
int find(int x){
return fa[x] == x ? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
======================================================
//并（按秩合并）
void merge(int x, int y){
int fx = find(x), fy = find(y);//先找各自根节点
if(rank[fx] <= rank[fy]){//秩小的连在秩大的上
fa[fx] = fy;
}else{
fa[fy] = fx;
}
//更新秩的大小
if(rank[fx] == rank[fy] && fx != fy){
rank[fy]++;//如果深度相同且根节点不同，则新的根节点的深度+1
}
}
};
相关实战例题 参见 此博客