算法通关村第十三关—数字与数学高频问题(白银)

      数字与数学高频问题

一、数组实现加法专题

1.1 数组实现整数加法

 先看一个用数组实现逐个加一的问题。LeetCode66.具体要求是由整数组成的非空数组所表示的非负整数，在其基础上加一。这里最高位数字存放在数组的首位，数组中每个元素只存储单个数字。并且假设除了整数0之外，这个整数不会以零开头。例如：

 这个看似很简单是不？从后向前依次加就行了，如果有进位就标记一下，但是如果到头了要进位怎么办呢？
 例如如果digits=[9,9,9],从后向前加的时候，到了A[0]的位置计算为0，需要再次进位但是数组却不能保存了，该怎么办呢？
 这里的关键是A[0]什么时候出现进位的情况，我们知道此时一定是9,99,999这样的结构才会出现加1之后再次进位，而进位之后的结果一定是10,100,1000这样的结构，由于java中数组默认初始化为0，所以我们此时只要申请一个空间比A[]大一个单位的数组B[],然后将B[0]设置为1就行了。

class Solution {
    public int[] plusOne(int[] digits) {
        for (int i = digits.length - 1; i >= 0; i--) {
            digits[i] = (digits[i] + 1) % 10;
            //取余后不为0，不需要进位了
            if (digits[i] != 0) return digits;
        }
        //整个循环结束没返回，那就是100，1000这种类型的
        //除了第一位为1，其它位为0，创建时就默认了，不需要去赋值
        digits = new int[digits.length + 1]; 
        digits[0] = 1;
        return digits;
    }
}

1.2 字符串加法

 我们继续看将数字保存在字符串中的情况：字符串加法就是使用字符串来表示数字，然后计算他们的和。具体要求如下：给定两个字符串形式的非负整数num1和um2，计算它们的和并同样以字符串形式返回。你不能使用任何內建的用于处理大整数的库（比如BigInteger),也不能直接将输入的字符串转换为整数形式。

 先定义两个指针i和j分别指向num1和num2的未尾，即最低位，同时定义一个变量add维护当前是否有进位，然后从未尾到开头逐位相加。
 这里可能有个问题：两个数字位数不同该怎么处理？简单，补0即可。具体可以看下面的代码：

public String addStrings(String num1,String num2){
    int i = num1.length()-1, j = num2.length()-1, add = 0;
    StringBuffer ans = new StringBuffer();
    while(i >= 0 || j >= 0 || add != 0){
        int x = i >= 0 ? num1.charat(i) - '0' : 0;
        int y = j >= 0 ? num2.charAt(j) - '0' : 0;
        int result = x + y + add;
        ans.append(result % 10);
        add = result / 10;
        i--;
        j--;
    }
    //计算完以后的答案需要翻转过来
    ans.reverse()
    return ans.toString();
}

1.3 二进制加法

 这个题也是用字符串来表示数据的，也要先转换为字符数组。我们熟悉的十进制，是从各位开始，逐步向高位加，达到10就进位，而对于二进制则判断相加之后是否为二进制的10，是则进位。本题解中大致思路与上述一致，但由于字符串操作原因，不确定最后的结果是否会多出一位进位，下面2种处理方式都可以：
1.第一种，在进行计算时直接拼接字符串，得到一个反向字符，最后再翻转。
2.第二种，按照位置给结果字符赋值，最后如果有进位，则在前方进行字符串拼接添加进位
这里采用第二种实现。

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        StringBuffer str = new StringBuffer();
        int alen = a.length() - 1, blen = b.length() - 1, add = 0;
        while(alen >= 0 || blen >= 0 || add != 0){
            int x = alen >= 0 ? a.charAt(alen) - '0': 0;
            int y = blen >= 0 ? b.charAt(blen) - '0': 0;
            int sum = x + y + add;
            str.append("" + sum % 2);
            add = sum / 2;

            alen--;
            blen--;
        }
        return str.reverse().toString();
    }
}

二、幂运算

 幂运算是常见的数学运算，其形式为ab，即a的b次方，其中a称为底数，b称为指数，ab为合法的运算（例如不会出现a=0且b≤0的情况)。幂运算满足底数和指数都是实数。根据具体问题，底数和指数的数据类型和取值范围也各不相同。例如，有的问题中，底数是正整数，指数是非负整数，有的问题中，底数是实数，指数是整数。
 力扣中，幂运算相关的问题主要是判断一个数是不是特定正整数的整数次幂，以及快速幂的处理。

2.1 求2的幂

 LeetCode:231.给你一个整数n,请你判断该整数是否是2的幂次方。如果是，返回true;否则，返回false。如果存在一个整数X使得n==2^×,则认为n是2的幂次方。

 解这道题其实挺简单的，首先排除负数。然后只要一直除以2，直至除不动为止，此时判断此数是否为1，1则为true

class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int n) {
        if(n <= 0) return false;
        int i = 0;
        while(n % 2 == 0) n /= 2;
        return n == 1;
    }
}

 也可以采用位运算，该方法与我们前面说的 统计数字转换成二进制数后：1的个数 思路一致。当n>0时，如果存在非负整数k使得n=2^k,则n的二进制表示为1后面跟k个0。由此可见，正整数n是2的幂，当且仅当n的二进制表示中只有最高位是1，其余位都是0，此时满足n&(n一1)=0(与运算)。因此代码就是：

class Solution {
    public boolean isPowerOfTwo(int n) {
        return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0;
    }
}

2.2 求3的幂

 leetcode326给定一个整数，写一个函数来判断它是否是3的幂次方。如果是，返回true;否则，返回false。整数n是3的幂次方需满足：存在整数x使得n==3×

class Solution {
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
        if(n <= 0) return false;
        while(n % 3 == 0) n /= 3;
        return n == 1;
    }
}

 这个题的问题和上面2的次幂一样，就是需要大量进行除法运算，我们能否优化一下呢？这里有个技巧。
v由于给定的输入n是int型，其最大值为2 ^ 31 - 1。因此在int型的数据范围内存在最大的3的幂，不超过2 ^ 31 -1 的最大的3的幂是3 ^ 19 = 1162261467。所以如果在1~2 ^ 31 -1内的数，如果是3的幂，则一定是1162261467的除数，所以这里可以通过一次除法就获得：

//仅作参考
public boolean isPowerofThree(int n){
	return n  >0 && 1162261467 % n = 0;
}

2.3 求4的幂

LeetCode:342给定一个整数，写一个函数来判断它是否是4的幂次方。如果是，返回true;否则，返回false。整数n是4的幂次方需满足：存在整数X使得n==4x。

class Solution {
    public boolean isPowerOfFour(int n) {
        if(n <= 0) return false;
        while(n % 4 == 0) n /= 4;
        return n == 1;
    }
}

总结

解决n次幂运算的通用方法
1.排除小于等于0的数
2.当该数取模n等于0时，循环除以n，直至除不了
3.返回判断该数是否等于1