数学术语之源——奇点(singularities)

1.  单词“singularity”的词源

单词“singularity”始于13世纪，早期拼写为“singularite”，词义为“unusual or exceptional behavior(不平常的或者异常的行为)”；14世纪中其衍生出词义“singleness of aim or purpose, devotion to a single thing(单一的目的或目标，对一件事的贡献)”；14世纪晚期衍生出词义“individual or particular things(单一的或者奇特的事物)”。来自古法语“singulerte”，词义为“peculiarity(特点，特性，奇特，奇异，怪癖)”(12世纪，现代法语拼写为“singularité”)，这个词的直接来源是晚期拉丁语词“singularitatem ”(其对应的主格为“singularitas”)，词义为“a being alone(单独的)”，这个词又派生于“singularis”，词义为“single, solitary, one by one, one at a time; peculiar, remarkable(单独的，独自的，逐个地，一次一个；奇特的，奇异的，引人注目的，非凡的)”，派生自“singulus ”，词义为“one, one to each, individual, separate(一个，每次一个，个体，分别)”(与“single”有个)。

2. “singularity”在数学中的出现

    在数学中，与“singularity”相关的术语有好几个，下面逐个描述。

(1) 术语“奇异积分(singular integral)”(在微分方程理论中)源自Lagrange 著作3(Lagrange Oeuvres ,3)第549-575 页(见Kline古今数学思想，第 532 页)。该术语于 1831 年由 J. R. Young 在《积分原理》(Elements of the Integral Calculus) (1839 年)中发现：We see, therefore, that it is possible for a differential equation to have other integrals besides the complete primitive, but derivable from it by substituting in it, for the arbitrary constant c, each of its values given in terms of x and y by the equation (5). Such integrals are called singular integrals, or singular solutions of the proposed differential equation.(因此，我们看到，除了完全原函数之外，微分方程可能还有其他积分，但可以通过将任意常数 c 代入其中来推导，其每个值由方程(5)按 x 和 y 给出。 这种积分称为奇异积分(singular integrals)，或所提出的微分方程的奇异解(singular solutions)。)  (在积分理论中的)奇异积分由 Augustin-Louis Cauchy在<<积分定义回忆录>>( Mémoire sur les intégrales définies)中引入，称为“积分奇异值”( intégrale singulière ), ( 1814 年提出，1827 年出版) Oeuvres Ser. 1,1 394页(F. Smithies所著<

(2) 奇异矩阵(singular matrix)。奇异矩阵和非奇异矩阵出现在1907年 Maxime Bôcher 所著的《高等代数导论》(Introduction to Higher Algebra)中：“定义2. 如果方阵的行列式为零，则称方阵是奇异的。”

(3) 奇点(singular point)出现在 George Green 于 1828 年发表的一篇论文中。该论文还包含了奇点的同义短语“奇异值(singular value)。” 此外，奇点还出现在 1836 年 John Radford Young 所著的<<微分原理>>(Elements of the Differential Calculus)第二版中。根据提供此引文的James A. Landau 的说法，目前尚不清楚作者使用该术语的含义。Landau写道：“从第四章的内容来看，对作者而言，‘奇点’是‘多重点(multiple points)’、‘尖点(cusps)’和‘拐点(points of inflexion)’所属类别的名称。” Benjamin Peirce在<<浅谈曲线、函数和力>>(An Elementary Treatise on Curves, Functions and Forces)(1846年)中写道：“曲线上那些表现出弯曲(curvature )或不连续性特征的点称为奇点。”

(4) 奇异值(singular value)和奇异值分解(singular value decomposition)。与矩阵奇异值分解相关的最常被引用的论文是 C. Eckart & G. Young “The Approximation of One Matrix by Another of Lower Rank(一个用另一个较低阶矩阵近似的矩阵),” Psychometrika, 1, 211-218。然而，结果却要老得多。

    G. W. Stewart 认为五位数学家负责建立奇异值分解的存在并发展了其理论：“Beltrami、Jordan 和 Sylvester 通过我们现在所说的线性代数来进行分解；Schmidt和Weyl从积分方程来研究它。” 比较特征值理论的发展是很有趣的。

除了Beltrami (1873)之外，所有贡献均可在网上获取：C. Jordan “Sur la réduction des formes bilinéaires(关于双线性形式的归约)”，Comptes Rendus, 78 (1874), 614-617； J. J. Sylvester“On the reduction of a bilinear quantic of the nth order to the form of a sum of n products by a double orthogonal substitution(关于通过双正交替换将 n 阶双线性量子简化为 n 乘积之和的形式)”，<<数学信使>>( Messenger of Mathematics)，19，(1889)，42-46(论文 IV，655)；E. Schmidt “关于线性和非线性积分方程的理论(Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willkiirlichen Funktionen nach System vorgeschriebener)，Math. Ann., 63, (1907), 433-476； H. Weyl“线性偏微分方程特征值的渐近分布定律(应用于空腔辐射理论)( Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwert linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf der Theorie der Hohlraumstrahlung))，Math. Ann.，71（1912），441-479。

    这些作者使用了各种术语，例如Sylvester提到“规范乘数(canonical multipliers)”。 “奇异值”一词自 1908 年以来一直在这种情况下使用，但与今天的使用方式完全一样。 F. Smithies“积分方程的特征值和奇异值(The Eigen-Values and Singular Values of Integral Equations)”使用了该术语的现代含义(Proc. London Math. Soc., 43, (1938), 255-279)。 Eckart 和Young 没有使用任何特殊术语，尽管他们引用了Sylvester的论文。

3. “singularity”在数学中的含义

    在数学中，“奇点”是给定的数学对象在此点上未被定义的点，或者数学对象在该点上不再以某种特定方式被良好定义的点(译注：相对于被良好定义的点来说，这些点是“异常的，不平常的”)，例如，缺泛可微性或分析性。

例如，倒数函数(
reciprocal function) f (x) = 1/x 在x = 0 处有一个奇点，其中，当涉及到除0的时候，函数值在此点没有定义。绝对值函数 g(x) = |x| 在x = 0 处也有一个奇点，因为函数在此点不可微(译注：存在拐点)。

    由   所定义的代数曲线在(x,y)坐标系统中在(0,0)点有一个奇点(称为尖点(cusp))。对于代数几何中的奇点，参见代数变量奇点；对于微分几何奇点，参见奇点理论。

2.1 实分析(Real Analysis)中的奇点

    在实分析中，奇点要么是不连续点，要么是导数的不连续点(有时候是高阶导数的不连续的点)。存在4种不连续点：类型I，又分为2个子类；类型II，也可以分为2个子类(尽管一般没有这样划分)。

    为了便于描述，使用两种极限。假设 f(x)是实参变量x的函数，对于其参数的任意值，比如c ,其左极限  和右极限  分别定义为：

 和

 。

 表示 x 从下方递增趋近于 c 时函数 f (x)所趋近的值， 示 x 从上方递减趋近于c时函数 f (x)所趋近的值，不考虑函数在 x = c 的实际值。

某些函数其左右极限不存在。例如，函数  ，当 x 超近于 c = 0 时函数不趋近于任何值。在这种情况下，极限不是无限的，而是没有定义：g (x)在其中没有确定的值。借用复分析术语，这有时被称为本性奇点(essential singularity)。

    参数在一个已知值c处可能的情况如下：

(1) 连续点。在c点连续的点其值满足  ，正如预期，它是一个平滑函数。若是 c 不连续点，则断点发生在c 处。

(2) 左右极限都存在且有限的I型断点。至少属于下列三种情况之一：

   ；

   f (x) 在 x = c 点未定义；或者

  f (x)在 x = c 点有定义，但其值不等于其左右极限。

I 型断点可以进一步划分成以下子类：

  跳跃断点(A jump discontinuity):在  时发生这种情况，不考虑 f (c) 是否有定义，若其有定义时也不考虑其取值。

  可除断点(A removable discontinuity): 在  时发生这种情况，不考虑 f (c) 是否有定义，若其有定义时也不考虑其取值(而是考虑其值不匹配这两个值)。

(3)  左或右极限不存在或左右极限皆不存在时的II型断点。下面是两种子类，一般情况下不单独考虑：

  无限断点(A infinity discontinuity): 无限不连续性是左极限或右极限不存在的特殊情况，特别是因为它是无限的，而另一个极限要么也是无限的，要么是某个明确定义的有限数。 换句话说，当函数的图形具有垂直渐近线时，该函数具有无限不连续性。

   本性奇点(An essential singularity): 本性奇点是从复杂分析中借用的一个术语(见下文)。 当一个或另一个极限  或  不存在时就会出现这种情况，但这并不是因为它是无限不连续性。 本性奇点接近无限，即使有效答案扩展到包括±∞也是如此。

在实分析中，奇异性或不连续性是函数单独的​​属性。函数的导数中可能存在的任何奇点都被视为属于导数，而不是原函数。

2.2 复分析(Complex Analysis)中的奇点

在复分析中，存在几类奇点。这些奇点包括孤立奇点(isolated singularities)、非孤立奇点(Nonisolated singularities)和分支点(Branch points)。

(1) 孤立奇点

    假设 f 是一个在复数 ℂ 的一个开子集U 的一个点a 的补集上复可微的。则

若存在一个定义于整个U上的全纯函数g，使得对于所有z∈U \{a} ，都有 f (z) = g(z)，则称点a是f的可除奇点(a removable singularity)。函数g是是函数f 的连续替代。

    若存在一个定义于U上的函数g且g(a)非零，并且对于所 z∈U \{a} ，存在一个自然数n 使得   , 则称a是f 的极点(pole)或非本性奇点(non-essential singularity)。最小的这样的自然数n称为极点的阶。在非本性奇点处的导数其本身有一个非本性奇点，且n按 1 递增(除是0的情况，这种情况下奇点可移除)。

  如果点 a 既不是可移除奇点也不是极点，则它是 f 的本性奇点(a essential singularity)。当且仅当Laurent级数具有无穷多个负次幂时，a 点才是本性奇点。

(2) 非孤立奇点

除了孤立的奇点之外，一个变量的复函数可能会表现出其他奇点行为。这些被称为非孤立奇点，其中有两种类型：

   聚点(Cluster points): 孤立奇点的极限点。如果它们都是极点，尽管承认在它们之上都有Laurent级数展式，则在其极限处没有这样的展式也是可能的。

  自然边界(Natural boundaries)：任何非孤立集(例如曲线)，其上的函数不能在其周围(或在其外部，如果它们是Riemann球中的闭合曲线)进行分析连续。

(3) 分支点(Branch points)

分支点通常是多值函数的结果，例如  或 log(z)，它们被定义于某个限定区域内，以便这个函数在这个区域内被当成单值函数使用。切割处是从域中排除的直线或曲线，以在函数的不连续值之间引入技术分离。当真正需要切割时，函数在分支切割的每一侧将具有明显不同的值。分支切口的形状是一个选择问题，尽管它必须连接固定到位的两个不同分支点。

2.3 有限时间奇点(Finite-time singularity)

    当一个输入变量是时间，并且输出变量在有限时间内向无穷大增加时，就会出现有限时间奇点。这些在运动学和偏微分方程中很重要——物理上不会出现无穷大，但奇点附近的行为通常令人感兴趣。

    在数学上，最简单的有限时间奇点是各种形如  幂函数,其中，最简单的是双曲型增长(hyperbolic growth)，指数是负1： 。 更确切地说，为了随着时间的推移在正时间获得奇点(因此输出增长到无穷大)，使用  替代(用t作时间,逆转方向为 –t , 使得时间递增到无限大，从到0到固定的时间  移动奇点)。

一个例子是非弹性球在平面上的弹跳运动。如果考虑理想化的运动，其中每次弹跳都会损失相同比例的动能，则弹跳的频率将变得无限，因为球会在有限的时间内静止。有限时间奇点的其他例子包括各种形式的Painlevé 悖论(例如，粉笔在黑板上拖动时有跳跃的趋势)，以及在平面上旋转的硬币的进动速率如何加速到无限——在突然停止之前(正如使用Euler盘玩具所研究的那样)。

    假设的例子包括Heinz von Foerster滑稽的“世界末日方程(Doomsday's equation)”(简单的模型在有限的时间内产生无限的人口)。

2.3 代数几何和变换代数中的奇点(Algebraic geometry and commutative algebra)

    在代数几何中，代数簇(algebraic varieties)的奇点是该簇的切线空间(tangent space)不能被规则定义的点。奇点最简单的例子是相互交叉的曲线。 但还有其他类型的奇点，例如尖点(cusps)。例如， 方程  定义了一条在原点(0,0)处具有尖点的曲线。可以将 x 轴定义为该点的切线，但该定义不能与其他点的定义相同。事实上，在这种情况下，x 轴是“双切线”。

    对于仿射簇(affine varieties)和射影簇(projective varieties)，奇点是Jacobian矩阵的秩低于簇中其他点的点。

    可以给出交换代数方面的等价定义，该定义扩展到抽象簇和方案：如果该点的局部环不是常规局部环，则该点是奇异的。