数学术语之源——全纯函数(holomorphic)

1. “holomorphic” 和 “meromorphic”的词源

术语“全纯函数(holomorphic function)”和“亚纯函数(meromorphic function)”由Charles A. A. Briot (1817-1882) 和Jean-Claude Bouquet (1819-1885)在<<椭圆函数理论>>(Théorie des fonctions elliptiques)(1859年)中引入的(注：两个都是法国数学家)。根据牛津词典(OED)和Steven Schwartzman的书<<数学词汇>>(The Words of Mathematics)和说法，“holo-”来自希腊语“holos”，词义为“whole, entire, complete(全部的，整个的，完全的)”，而“meta-”来自希腊语“meta”，词义为“in the midst of; in common with; by means of; between; in pursuit or quest of; after, next after, behind(在……的中间，共同之处在于，凭借……，介于……之间，追求或寻求，在……之后，紧接在……之后，位于……之后),部分(part)，部分的(partial)；” “morphic”来自希腊词“morphē”,词义为“form, shape(形式，形状，状态)”。

谷歌出版物搜索发现“holomorphic”的英文出现在“Solution of the Fifth Degree(5阶方程的解)”一文中(The Analyst，1878年11月)。这篇文章是Briot 和 Bouquet上述作品的英语译文。

谷歌出版物搜索发现“meromorphic”的英文在1885年出现在“Extrait d’une letter de M. Hermite (摘自《隐士》的一封信)”一文中。美国数学杂志(American Journal of Mathematics)称:“函数  在一个整球面(whole sphere)上呈‘亚纯性’则一定是一个比率分数……”。

因此，直译“meromorphic”即为“全形态的”，但中文译为“全纯”不知何意，在汉语中，“纯”这个字本身也有“全、完整”的意思，这个“纯”字的意义体现在哪里？直译“meromorphic”即为“部分形态的”。

2. “holomorphic” 和 “meromorphic”的数学意义

    在实分析中，我们仅考察左右极限，然而，在复平面上，我们需要考虑可能的所有方向，或许这就是“全形”的词义所在。

    因为数学术语的历史漫长而复杂。至少我们不再谈论单演函数(monogenic function)(Cauchy对域上处处可微的复函数的称法)和通用函数(general function)，这是同一概念的另外两个术语(就复杂分析而言)。

在现代分析学中，术语解析函数(analytic function，或称“分析函数”)有两种使用方式：(复函数)在其域的每个点上都有一个复导数，因此拥有所有阶的导数并在局部与其Taylor级数一致；(实函数)拥有所有阶的导数并且局部与其Taylor级数一致。由于第一种用法非常流行(由于幂级数在复分析中无处不在，它们存在于每个可微函数中)，因此在提到第二种用法时，人们通常会说实解析。

在Lagrange的 <<解析函数论>>(Théorie des Fonctions Analytiques)(1797年)一书中，他称解析函数只是表示分析中处理的函数类型。Judith V. Grabiner在她的<>中解释了Lagrange的用法与现代用法之间的联系：“对于Lagrange来说，微积分的所有应用......都依赖于函数的那些性质，这些性质可以通过研究他们的Taylor级数发展来学习……Weierstrass后来在他的复变量函数理论中利用了这个思想——Weierstrassd保留了Lagrange的术语“解析函数”, 将其描述为具有收敛Taylor级数的复变量函数。

在复分析中我们经常会遇到Taylor级数和Laurent级数。对于后者，负幂的数量是有限的还是无限的非常重要。 为了阐明这些区别，引入了全纯(holomorphic)和亚纯(meromorphic)这两个词。亚纯允许极点(poles)(注：在复平面上使函数趋于无穷大的点)(即Laurent级数中有限多个负幂)，而全纯则不允许。从某种角度(Riemann球面)来看，亚纯函数并不比全纯函数差；而在其他时候，极点的存在会改变情况。