证明四元数乘法与旋转矩阵乘法等价

刚体四元数姿态控制 一文中没有证明的公式
$$R(Q_1)R(Q_2)=R(Q_1\circ Q_2)$$
在这篇文章中证明。
首先找几个数测试是否等价。
quaternions.py的代码见 自用的四元数、欧拉角、旋转矩阵转换代码。
下面的代码中，为了测试准确，四元数还要保证归一化，不如事先拿几个欧拉角转成四元数。

import numpy as np
from pythonsrc.quaternions import *

e1 = np.array([2, 0.2, -0.1])
e2 = np.array([0.1, 0.2, -0.3])
q1 = Euler_To_Quaternion(e1)
q2 = Euler_To_Quaternion(e2)
q3 = Quaternion_Product(q2, q1)
r1 = Quaternion_to_Rotation(q1)
r2 = Quaternion_to_Rotation(q2)
r3 = Quaternion_to_Rotation(q3)
r4 = r1 @ r2
print(sum(sum(r3-r4)))

然后测试一下 sympy 计算四元数转旋转矩阵的公式是否正确。

import sympy

def Antisymmetric(mat):
    ans = sympy.Matrix([
        [0, -mat[2], mat[1]],
        [mat[2], 0, -mat[0]],
        [-mat[1], mat[0], 0],
    ])
    return ans

qsa, qvxa, qvya, qvza = sympy.symbols('s_a, v_{ax}, v_{ay}, v_{az}')
qsb, qvxb, qvyb, qvzb = sympy.symbols('s_b, v_{bx}, v_{by}, v_{bz}')
qva = sympy.Matrix([qvxa, qvya, qvza])
qvb = sympy.Matrix([qvxb, qvyb, qvzb])
result = (qsa**2 - qva.T.dot(qva))*sympy.eye(3)
result += 2*qva*qva.T
result += 2*qsa*Antisymmetric(qva)
sympy.print_latex(result)

最后正式验证等价性。

import sympy

def Antisymmetric(mat):
    ans = sympy.Matrix([
        [0, -mat[2], mat[1]],
        [mat[2], 0, -mat[0]],
        [-mat[1], mat[0], 0],
    ])
    return ans

def Quaternion_to_Rotation(Q):
    q0, q1, q2, q3 = Q
    return sympy.Matrix([
        [q0*q0+q1*q1-q2*q2-q3*q3, 2*q1*q2-2*q0*q3, 2*q1*q3+2*q0*q2],
        [2*q1*q2+2*q0*q3, q0*q0-q1*q1+q2*q2-q3*q3, 2*q2*q3-2*q0*q1],
        [2*q1*q3-2*q0*q2, 2*q2*q3+2*q0*q1, q0*q0-q1*q1-q2*q2+q3*q3],
    ])

def Quaternion_Product(Q1, Q2):
    w1, x1, y1, z1 = Q1
    w2, x2, y2, z2 = Q2
    w = w1 * w2 - x1 * x2 - y1 * y2 - z1 * z2
    x = w1 * x2 + x1 * w2 + y1 * z2 - z1 * y2
    y = w1 * y2 + y1 * w2 + z1 * x2 - x1 * z2
    z = w1 * z2 + z1 * w2 + x1 * y2 - y1 * x2
    return sympy.Matrix([w, x, y, z])

qsa, qvxa, qvya, qvza = sympy.symbols('s_a, v_{ax}, v_{ay}, v_{az}')
qsb, qvxb, qvyb, qvzb = sympy.symbols('s_b, v_{bx}, v_{by}, v_{bz}')
Qa = sympy.Matrix([qsa, qvxa, qvya, qvza])
Qb = sympy.Matrix([qsb, qvxb, qvyb, qvzb])
Qc = Quaternion_Product(Qa, Qb)
Ra = Quaternion_to_Rotation(Qa)
Rb = Quaternion_to_Rotation(Qb)
Rc = Quaternion_to_Rotation(Qc)
Rd = Ra @ Rb
sympy.print_latex(Rc)
sympy.print_latex(Rd)
err = Rc - Rd
sympy.print_latex(err.expand())

输出结果如下，公式特别复杂，两个矩阵的误差为0。

[ ( s a s b − v a x v b x − v a y v b y − v a z v b z ) 2 + ( s a v b x + s b v a x + v a y v b z − v a z v b y ) 2 − ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) 2 − ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) 2 − ( 2 s a s b − 2 v a x v b x − 2 v a y v b y − 2 v a z v b z ) ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) + ( 2 s a v b x + 2 s b v a x + 2 v a y v b z − 2 v a z v b y ) ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) ( 2 s a s b − 2 v a x v b x − 2 v a y v b y − 2 v a z v b z ) ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) + ( 2 s a v b x + 2 s b v a x + 2 v a y v b z − 2 v a z v b y ) ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) ( 2 s a s b − 2 v a x v b x − 2 v a y v b y − 2 v a z v b z ) ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) + ( 2 s a v b x + 2 s b v a x + 2 v a y v b z − 2 v a z v b y ) ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) ( s a s b − v a x v b x − v a y v b y − v a z v b z ) 2 − ( s a v b x + s b v a x + v a y v b z − v a z v b y ) 2 + ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) 2 − ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) 2 − ( 2 s a s b − 2 v a x v b x − 2 v a y v b y − 2 v a z v b z ) ( s a v b x + s b v a x + v a y v b z − v a z v b y ) + ( 2 s a v b y + 2 s b v a y − 2 v a x v b z + 2 v a z v b x ) ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) − ( 2 s a s b − 2 v a x v b x − 2 v a y v b y − 2 v a z v b z ) ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) + ( 2 s a v b x + 2 s b v a x + 2 v a y v b z − 2 v a z v b y ) ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) ( 2 s a s b − 2 v a x v b x − 2 v a y v b y − 2 v a z v b z ) ( s a v b x + s b v a x + v a y v b z − v a z v b y ) + ( 2 s a v b y + 2 s b v a y − 2 v a x v b z + 2 v a z v b x ) ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) ( s a s b − v a x v b x − v a y v b y − v a z v b z ) 2 − ( s a v b x + s b v a x + v a y v b z − v a z v b y ) 2 − ( s a v b y + s b v a y − v a x v b z + v a z v b x ) 2 + ( s a v b z + s b v a z + v a x v b y − v a y v b x ) 2 ] \left[\begin{matrix}\left(s_{a} s_{b} - v_{ax} v_{bx} - v_{ay} v_{by} - v_{az} v_{bz}\right)^{2} + \left(s_{a} v_{bx} + s_{b} v_{ax} + v_{ay} v_{bz} - v_{az} v_{by}\right)^{2} - \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right)^{2} - \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right)^{2} & - \left(2 s_{a} s_{b} - 2 v_{ax} v_{bx} - 2 v_{ay} v_{by} - 2 v_{az} v_{bz}\right) \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right) + \left(2 s_{a} v_{bx} + 2 s_{b} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{bz} - 2 v_{az} v_{by}\right) \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right) & \left(2 s_{a} s_{b} - 2 v_{ax} v_{bx} - 2 v_{ay} v_{by} - 2 v_{az} v_{bz}\right) \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right) + \left(2 s_{a} v_{bx} + 2 s_{b} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{bz} - 2 v_{az} v_{by}\right) \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right)\\\left(2 s_{a} s_{b} - 2 v_{ax} v_{bx} - 2 v_{ay} v_{by} - 2 v_{az} v_{bz}\right) \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right) + \left(2 s_{a} v_{bx} + 2 s_{b} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{bz} - 2 v_{az} v_{by}\right) \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right) & \left(s_{a} s_{b} - v_{ax} v_{bx} - v_{ay} v_{by} - v_{az} v_{bz}\right)^{2} - \left(s_{a} v_{bx} + s_{b} v_{ax} + v_{ay} v_{bz} - v_{az} v_{by}\right)^{2} + \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right)^{2} - \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right)^{2} & - \left(2 s_{a} s_{b} - 2 v_{ax} v_{bx} - 2 v_{ay} v_{by} - 2 v_{az} v_{bz}\right) \left(s_{a} v_{bx} + s_{b} v_{ax} + v_{ay} v_{bz} - v_{az} v_{by}\right) + \left(2 s_{a} v_{by} + 2 s_{b} v_{ay} - 2 v_{ax} v_{bz} + 2 v_{az} v_{bx}\right) \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right)\\- \left(2 s_{a} s_{b} - 2 v_{ax} v_{bx} - 2 v_{ay} v_{by} - 2 v_{az} v_{bz}\right) \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right) + \left(2 s_{a} v_{bx} + 2 s_{b} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{bz} - 2 v_{az} v_{by}\right) \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right) & \left(2 s_{a} s_{b} - 2 v_{ax} v_{bx} - 2 v_{ay} v_{by} - 2 v_{az} v_{bz}\right) \left(s_{a} v_{bx} + s_{b} v_{ax} + v_{ay} v_{bz} - v_{az} v_{by}\right) + \left(2 s_{a} v_{by} + 2 s_{b} v_{ay} - 2 v_{ax} v_{bz} + 2 v_{az} v_{bx}\right) \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right) & \left(s_{a} s_{b} - v_{ax} v_{bx} - v_{ay} v_{by} - v_{az} v_{bz}\right)^{2} - \left(s_{a} v_{bx} + s_{b} v_{ax} + v_{ay} v_{bz} - v_{az} v_{by}\right)^{2} - \left(s_{a} v_{by} + s_{b} v_{ay} - v_{ax} v_{bz} + v_{az} v_{bx}\right)^{2} + \left(s_{a} v_{bz} + s_{b} v_{az} + v_{ax} v_{by} - v_{ay} v_{bx}\right)^{2}\end{matrix}\right] ​(sa​sb​−vax​vbx​−vay​vby​−vaz​vbz​)2+(sa​vbx​+sb​vax​+vay​vbz​−vaz​vby​)2−(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)2−(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)2(2sa​sb​−2vax​vbx​−2vay​vby​−2vaz​vbz​)(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)+(2sa​vbx​+2sb​vax​+2vay​vbz​−2vaz​vby​)(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)−(2sa​sb​−2vax​vbx​−2vay​vby​−2vaz​vbz​)(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)+(2sa​vbx​+2sb​vax​+2vay​vbz​−2vaz​vby​)(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)​−(2sa​sb​−2vax​vbx​−2vay​vby​−2vaz​vbz​)(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)+(2sa​vbx​+2sb​vax​+2vay​vbz​−2vaz​vby​)(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)(sa​sb​−vax​vbx​−vay​vby​−vaz​vbz​)2−(sa​vbx​+sb​vax​+vay​vbz​−vaz​vby​)2+(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)2−(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)2(2sa​sb​−2vax​vbx​−2vay​vby​−2vaz​vbz​)(sa​vbx​+sb​vax​+vay​vbz​−vaz​vby​)+(2sa​vby​+2sb​vay​−2vax​vbz​+2vaz​vbx​)(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)​(2sa​sb​−2vax​vbx​−2vay​vby​−2vaz​vbz​)(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)+(2sa​vbx​+2sb​vax​+2vay​vbz​−2vaz​vby​)(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)−(2sa​sb​−2vax​vbx​−2vay​vby​−2vaz​vbz​)(sa​vbx​+sb​vax​+vay​vbz​−vaz​vby​)+(2sa​vby​+2sb​vay​−2vax​vbz​+2vaz​vbx​)(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)(sa​sb​−vax​vbx​−vay​vby​−vaz​vbz​)2−(sa​vbx​+sb​vax​+vay​vbz​−vaz​vby​)2−(sa​vby​+sb​vay​−vax​vbz​+vaz​vbx​)2+(sa​vbz​+sb​vaz​+vax​vby​−vay​vbx​)2​ ​
[ ( 2 s a v a y + 2 v a x v a z ) ( − 2 s b v b y + 2 v b x v b z ) + ( − 2 s a v a z + 2 v a x v a y ) ( 2 s b v b z + 2 v b x v b y ) + ( s a 2 + v a x 2 − v a y 2 − v a z 2 ) ( s b 2 + v b x 2 − v b y 2 − v b z 2 ) ( 2 s a v a y + 2 v a x v a z ) ( 2 s b v b x + 2 v b y v b z ) + ( − 2 s a v a z + 2 v a x v a y ) ( s b 2 − v b x 2 + v b y 2 − v b z 2 ) + ( − 2 s b v b z + 2 v b x v b y ) ( s a 2 + v a x 2 − v a y 2 − v a z 2 ) ( 2 s a v a y + 2 v a x v a z ) ( s b 2 − v b x 2 − v b y 2 + v b z 2 ) + ( − 2 s a v a z + 2 v a x v a y ) ( − 2 s b v b x + 2 v b y v b z ) + ( 2 s b v b y + 2 v b x v b z ) ( s a 2 + v a x 2 − v a y 2 − v a z 2 ) ( − 2 s a v a x + 2 v a y v a z ) ( − 2 s b v b y + 2 v b x v b z ) + ( 2 s a v a z + 2 v a x v a y ) ( s b 2 + v b x 2 − v b y 2 − v b z 2 ) + ( 2 s b v b z + 2 v b x v b y ) ( s a 2 − v a x 2 + v a y 2 − v a z 2 ) ( − 2 s a v a x + 2 v a y v a z ) ( 2 s b v b x + 2 v b y v b z ) + ( 2 s a v a z + 2 v a x v a y ) ( − 2 s b v b z + 2 v b x v b y ) + ( s a 2 − v a x 2 + v a y 2 − v a z 2 ) ( s b 2 − v b x 2 + v b y 2 − v b z 2 ) ( − 2 s a v a x + 2 v a y v a z ) ( s b 2 − v b x 2 − v b y 2 + v b z 2 ) + ( 2 s a v a z + 2 v a x v a y ) ( 2 s b v b y + 2 v b x v b z ) + ( − 2 s b v b x + 2 v b y v b z ) ( s a 2 − v a x 2 + v a y 2 − v a z 2 ) ( 2 s a v a x + 2 v a y v a z ) ( 2 s b v b z + 2 v b x v b y ) + ( − 2 s a v a y + 2 v a x v a z ) ( s b 2 + v b x 2 − v b y 2 − v b z 2 ) + ( − 2 s b v b y + 2 v b x v b z ) ( s a 2 − v a x 2 − v a y 2 + v a z 2 ) ( 2 s a v a x + 2 v a y v a z ) ( s b 2 − v b x 2 + v b y 2 − v b z 2 ) + ( − 2 s a v a y + 2 v a x v a z ) ( − 2 s b v b z + 2 v b x v b y ) + ( 2 s b v b x + 2 v b y v b z ) ( s a 2 − v a x 2 − v a y 2 + v a z 2 ) ( 2 s a v a x + 2 v a y v a z ) ( − 2 s b v b x + 2 v b y v b z ) + ( − 2 s a v a y + 2 v a x v a z ) ( 2 s b v b y + 2 v b x v b z ) + ( s a 2 − v a x 2 − v a y 2 + v a z 2 ) ( s b 2 − v b x 2 − v b y 2 + v b z 2 ) ] \left[\begin{matrix}\left(2 s_{a} v_{ay} + 2 v_{ax} v_{az}\right) \left(- 2 s_{b} v_{by} + 2 v_{bx} v_{bz}\right) + \left(- 2 s_{a} v_{az} + 2 v_{ax} v_{ay}\right) \left(2 s_{b} v_{bz} + 2 v_{bx} v_{by}\right) + \left(s_{a}^{2} + v_{ax}^{2} - v_{ay}^{2} - v_{az}^{2}\right) \left(s_{b}^{2} + v_{bx}^{2} - v_{by}^{2} - v_{bz}^{2}\right) & \left(2 s_{a} v_{ay} + 2 v_{ax} v_{az}\right) \left(2 s_{b} v_{bx} + 2 v_{by} v_{bz}\right) + \left(- 2 s_{a} v_{az} + 2 v_{ax} v_{ay}\right) \left(s_{b}^{2} - v_{bx}^{2} + v_{by}^{2} - v_{bz}^{2}\right) + \left(- 2 s_{b} v_{bz} + 2 v_{bx} v_{by}\right) \left(s_{a}^{2} + v_{ax}^{2} - v_{ay}^{2} - v_{az}^{2}\right) & \left(2 s_{a} v_{ay} + 2 v_{ax} v_{az}\right) \left(s_{b}^{2} - v_{bx}^{2} - v_{by}^{2} + v_{bz}^{2}\right) + \left(- 2 s_{a} v_{az} + 2 v_{ax} v_{ay}\right) \left(- 2 s_{b} v_{bx} + 2 v_{by} v_{bz}\right) + \left(2 s_{b} v_{by} + 2 v_{bx} v_{bz}\right) \left(s_{a}^{2} + v_{ax}^{2} - v_{ay}^{2} - v_{az}^{2}\right)\\\left(- 2 s_{a} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{az}\right) \left(- 2 s_{b} v_{by} + 2 v_{bx} v_{bz}\right) + \left(2 s_{a} v_{az} + 2 v_{ax} v_{ay}\right) \left(s_{b}^{2} + v_{bx}^{2} - v_{by}^{2} - v_{bz}^{2}\right) + \left(2 s_{b} v_{bz} + 2 v_{bx} v_{by}\right) \left(s_{a}^{2} - v_{ax}^{2} + v_{ay}^{2} - v_{az}^{2}\right) & \left(- 2 s_{a} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{az}\right) \left(2 s_{b} v_{bx} + 2 v_{by} v_{bz}\right) + \left(2 s_{a} v_{az} + 2 v_{ax} v_{ay}\right) \left(- 2 s_{b} v_{bz} + 2 v_{bx} v_{by}\right) + \left(s_{a}^{2} - v_{ax}^{2} + v_{ay}^{2} - v_{az}^{2}\right) \left(s_{b}^{2} - v_{bx}^{2} + v_{by}^{2} - v_{bz}^{2}\right) & \left(- 2 s_{a} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{az}\right) \left(s_{b}^{2} - v_{bx}^{2} - v_{by}^{2} + v_{bz}^{2}\right) + \left(2 s_{a} v_{az} + 2 v_{ax} v_{ay}\right) \left(2 s_{b} v_{by} + 2 v_{bx} v_{bz}\right) + \left(- 2 s_{b} v_{bx} + 2 v_{by} v_{bz}\right) \left(s_{a}^{2} - v_{ax}^{2} + v_{ay}^{2} - v_{az}^{2}\right)\\\left(2 s_{a} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{az}\right) \left(2 s_{b} v_{bz} + 2 v_{bx} v_{by}\right) + \left(- 2 s_{a} v_{ay} + 2 v_{ax} v_{az}\right) \left(s_{b}^{2} + v_{bx}^{2} - v_{by}^{2} - v_{bz}^{2}\right) + \left(- 2 s_{b} v_{by} + 2 v_{bx} v_{bz}\right) \left(s_{a}^{2} - v_{ax}^{2} - v_{ay}^{2} + v_{az}^{2}\right) & \left(2 s_{a} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{az}\right) \left(s_{b}^{2} - v_{bx}^{2} + v_{by}^{2} - v_{bz}^{2}\right) + \left(- 2 s_{a} v_{ay} + 2 v_{ax} v_{az}\right) \left(- 2 s_{b} v_{bz} + 2 v_{bx} v_{by}\right) + \left(2 s_{b} v_{bx} + 2 v_{by} v_{bz}\right) \left(s_{a}^{2} - v_{ax}^{2} - v_{ay}^{2} + v_{az}^{2}\right) & \left(2 s_{a} v_{ax} + 2 v_{ay} v_{az}\right) \left(- 2 s_{b} v_{bx} + 2 v_{by} v_{bz}\right) + \left(- 2 s_{a} v_{ay} + 2 v_{ax} v_{az}\right) \left(2 s_{b} v_{by} + 2 v_{bx} v_{bz}\right) + \left(s_{a}^{2} - v_{ax}^{2} - v_{ay}^{2} + v_{az}^{2}\right) \left(s_{b}^{2} - v_{bx}^{2} - v_{by}^{2} + v_{bz}^{2}\right)\end{matrix}\right] ​(2sa​vay​+2vax​vaz​)(−2sb​vby​+2vbx​vbz​)+(−2sa​vaz​+2vax​vay​)(2sb​vbz​+2vbx​vby​)+(sa2​+vax2​−vay2​−vaz2​)(sb2​+vbx2​−vby2​−vbz2​)(−2sa​vax​+2vay​vaz​)(−2sb​vby​+2vbx​vbz​)+(2sa​vaz​+2vax​vay​)(sb2​+vbx2​−vby2​−vbz2​)+(2sb​vbz​+2vbx​vby​)(sa2​−vax2​+vay2​−vaz2​)(2sa​vax​+2vay​vaz​)(2sb​vbz​+2vbx​vby​)+(−2sa​vay​+2vax​vaz​)(sb2​+vbx2​−vby2​−vbz2​)+(−2sb​vby​+2vbx​vbz​)(sa2​−vax2​−vay2​+vaz2​)​(2sa​vay​+2vax​vaz​)(2sb​vbx​+2vby​vbz​)+(−2sa​vaz​+2vax​vay​)(sb2​−vbx2​+vby2​−vbz2​)+(−2sb​vbz​+2vbx​vby​)(sa2​+vax2​−vay2​−vaz2​)(−2sa​vax​+2vay​vaz​)(2sb​vbx​+2vby​vbz​)+(2sa​vaz​+2vax​vay​)(−2sb​vbz​+2vbx​vby​)+(sa2​−vax2​+vay2​−vaz2​)(sb2​−vbx2​+vby2​−vbz2​)(2sa​vax​+2vay​vaz​)(sb2​−vbx2​+vby2​−vbz2​)+(−2sa​vay​+2vax​vaz​)(−2sb​vbz​+2vbx​vby​)+(2sb​vbx​+2vby​vbz​)(sa2​−vax2​−vay2​+vaz2​)​(2sa​vay​+2vax​vaz​)(sb2​−vbx2​−vby2​+vbz2​)+(−2sa​vaz​+2vax​vay​)(−2sb​vbx​+2vby​vbz​)+(2sb​vby​+2vbx​vbz​)(sa2​+vax2​−vay2​−vaz2​)(−2sa​vax​+2vay​vaz​)(sb2​−vbx2​−vby2​+vbz2​)+(2sa​vaz​+2vax​vay​)(2sb​vby​+2vbx​vbz​)+(−2sb​vbx​+2vby​vbz​)(sa2​−vax2​+vay2​−vaz2​)(2sa​vax​+2vay​vaz​)(−2sb​vbx​+2vby​vbz​)+(−2sa​vay​+2vax​vaz​)(2sb​vby​+2vbx​vbz​)+(sa2​−vax2​−vay2​+vaz2​)(sb2​−vbx2​−vby2​+vbz2​)​ ​