杨辉三角形-第11届蓝桥杯选拔赛Python真题精选

[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第17讲。

杨辉三角形，本题是2019年12月15日举办的第11届蓝桥杯青少组Python编程选拔赛真题，题目要求编写程序输出指定行数的杨辉三角形。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

提示信息：

杨辉三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。中国南宋数学家杨辉在1261年所著的 《详解九章算法》一书有明确记载。欧洲数学家帕斯卡在1654年发现这一规律，所以又叫做帕斯卡三角形。

其定义为：其顶端(第1行）是1；第2行是两个1；第3行是'1 2 1'，中间的'2'是其上方相邻的两个数字的和；依此类推，产生如图所示的杨辉三角形。

编程实现：

对于任意输入的3~15之间的正整数n，请编程输出前n行数字、以及由其组成的杨辉三角形。 

函数提示：

print('{:< 3}'.format(10))能够以3个字符宽度、左对齐的方式显示数字10。

输入描述：

一个正整数n(2 ≤ n ≤ 15）

输出描述：

由两部分组成。第一部分输出由n行数字组成的列表；第二部分输出n行数字组成的杨辉三角形，具体输出格式参考如下样例。

样例输入：

6

样例输出：

评判标准：

下列各评分项单独计分，得分累加，共35个计分点。

• 15分：正确输出n行数字组成的列表；

• 9分：正确输出n行数字组成的杨辉三角形，输出格式不需要完全符合样例；

• 11分：正确输出n行数字组成的杨辉三角形，且格式符合样例，即要求各数字间距相同、左右对称、上下隔行对齐。

二.思路分析

这是一道算法题，考查的知识点主要包括循环、列表操作、输出控制和算法等。

你知道吗，中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位，杨辉三角形的发现就是十分精彩的一页。

要解决本题，首先需要找到这其中的规律，相信聪明的你已经发现了，杨辉三角形具有如下4个特性：

1). 第n行的数字有n个

2). 每行首位数字和末位数字都是1；

3). 每行中间的各项数字都是它肩上两个数字的和；

4). 第n行的项数总比第n-1行多1。

尤其是第3点，这是关键，我们可以结合动图来理解：

但是，我们的数据是保存在列表中的，将上图转换成规则的表格形式，如下：

这样看起来就比较清楚了，除了第1行和第2行之外，从第3行开始，每一行的中间项（除首尾两项）都满足如下公式：

a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j]

这里的i表示行，j表示列，其中，a[i-1][j-1]是左上方的列表项，a[i-1][j]是正上方的列表项。

这其实就是递推算法，那什么是递推算法呢？

递推算法是一种简单的算法，其核心思想是根据已有的数据和关系，逐步推导而得到结果。

递推算法的特点是，一个问题的求解需要一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，需要找到前后项之间的关系，即推导公式。

根据上面的分析，我们可以将本题分成如下几步来实现：

• 初始化列表，包括前两行；

• 使用递推算法构造整个列表

• 输出列表

• 输出杨辉三角形

思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们分4步来编写程序：

• 初始化列表；

• 使用递推算法构造整个列表

• 输出列表

• 输出杨辉三角形

1. 初始化列表

这一步，非常简单，只需要完成两个任务，一是获取用户输入的行数，二是创建一个二维列表，编写代码如下：

由于这里只需要初始化列表的前两项，所以在构造的时候直接写上即可，和行数n没有关系。

2. 使用递推算法构造整个列表

根据前面的思路分析，从第3行开始，使用递推算法逐步构造列表项，继续编写代码如下：

这部分代码是本题的关键，也是难点，重点说明一下。

由于列表的第1行和第2行已经有了，所以在循环的时候，i从2开始，表示第3行，到n-1行结束，包括第n-1行。

对于第i行，首先构造一个一维列表，并将所有的初始值设为1。

比如i = 2时，表示第3行，有3项数据，构造的列表为：

[1, 1, 1]

再如i = 3时，表示第4行，有4项数据，构造的列表为：

[1, 1, 1, 1]

又如i = 4时，表示第5行，有5项数据，构造的列表为：

[1, 1, 1, 1, 1]

将构造好的列表追加到tri列表中，然后使用循环，对中间项进行推导，所以变量j的范围是（1，i），第一项和最后一项则保持1不变。

3. 输出列表

列表构造完毕，直接使用for循环输出即可，代码如下：

4. 输出杨辉三角形

按照题目要求，需要输出三角形的形状，并且各数字间距相同、左右对称、上下隔行对齐，这个该怎么实现呢？

关于对齐效果，Python提供了center()函数，用法如下：

str.center(width[, fillchar])

其中，width表示字符串的总宽度，fillchar则表示填充字符，默认为空格。

有了这个函数，问题就变得简单了，只需要将数字转成字符串，然后调用center()方法即可，那么，这里的width设置多少比较合适呢？

题目中明确给出了n的取值范围为[2，15]，当n=15时，最大的数字为3432，所以宽度必须要大于4，同时确保左右各空一格，所以设置为6比较合适。

然后就是每一行需要输出空格，空格的数量和行数有关系，以n=6为例，

根据上面的表格，我们可以总结出如下规律：​​​​​​

第1行，左边要空出5个单元格，即6 - 0 - 1第2行，左边要空出4个单元格，即6 - 1 - 1第3行，左边要空出3个单元格，即6 - 2 - 1......第i行，左边要空出n - i - 1个单元格

注意，这里的i是从0开始的。

所以，对于第i行而言，要输出的空格数为：

 (n - i - 1) * 3

之所以乘以3，是因为每个数字的宽度为6，6/2 = 3。

分析完毕，就可以编写代码了，如下：

运行程序，输入数字6，效果如下：

再输入数字15，效果如下：

怎么样，对齐效果还是非常nice的吧，至此，整个程序就全部完成了，你也可以输入不同的数字来测试效果。

四.总结与思考

本题的分数为35分，代码在15行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，主要for...in循环；

• 列表运算，尤其是二维列表；

• 输出格式控制；

• 递推算法；

题目难度较大，尤其是对于初学者。难点有两个，一是如何找到杨辉三角数据之间的规律，这是实现递推算法的关键所在，二是如何使用二维列表来表示杨辉三角，并构造出列表。

考生除了要具备扎实的Python语法基础之外，同时还需要具备一定的算法思维，随着学习的不断深入，算法会变得越来越重要。

递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种处理问题的方法能将复杂运算简化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。

使用递推算法，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算，从这个角度来讲，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

超平老师给你留一道思考题，除了上面讲到的方法外，还有没有其它的方法，具体又是如何实现的呢？

你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。

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