P1637 三元上升子序列 题解

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题目描述
Erwin 最近对一种叫 thair 的东西巨感兴趣。。。

在含有 
�
n 个整数的序列 
�
1
,
�
2
,
…
,
�
�
a 
1
​
 ,a 
2
​
 ,…,a 
n
​
  中，三个数被称作thair当且仅当 
�
<
�
<
�
i �
�
<
�
�
<
�
�
a 
i
​
  j
​
  k
​
 。

求一个序列中 thair 的个数。

输入格式
开始一行一个正整数 
�
n,

以后一行 
�
n 个整数 
�
1
,
�
2
,
…
,
�
�
a 
1
​
 ,a 
2
​
 ,…,a 
n
​
 。

输出格式
一行一个整数表示 thair 的个数。

输入输出样例
输入 #1复制
4
2 1 3 4
输出 #1复制
2
输入 #2复制
5
1 2 2 3 4
输出 #2复制
7
说明/提示
样例2 解释
7
7 个 thair 分别是：

1 2 3
1 2 4
1 2 3
1 2 4
1 3 4
2 3 4
2 3 4
数据规模与约定
对于 
30
%
30% 的数据 保证 
�
≤
100
n≤100；
对于 
60
%
60% 的数据 保证 
�
≤
2000
n≤2000；
对于 
100
%
100% 的数据 保证 
1
≤
�
≤
3
×
1
0
4
1≤n≤3×10 
4
 ，
1
≤
�
�
≤
1
0
5
1≤a 
i
​
 ≤10 
5
 。

这道题可以拓展到M元上升子序列。
做法: DP + 树状数组优化
仿照
�
�
�
LIS的做法，设
�
[
�
]
[
�
]
f[i][j]为以
�
[
�
]
a[j]为结尾的长度为
�
i的上升子序列的个数。

得到状态转移方程：
�
[
�
]
[
�
]
=
∑
�
<
�
,
�
[
�
]
<
�
[
�
]
�
[
�
−
1
]
[
�
]
f[i][j]=∑ 
k ​
 f[i−1][k]

转移时暴力枚举，显然复杂度为
�
(
�
2
�
)
O(N 
2
 M)

考虑到k有两个限制条件，
�
<
�
k �
[
�
]
<
�
[
�
]
a[k] �
[
]
a[]离散化，再用树状数组维护。

具体来说，在外层循环
�
i，建立一个树状数组，以
�
[
�
]
a[k]为下标存储
�
[
�
−
1
]
[
�
]
f[i−1][k]的值。当内层循环到
�
j时，
�
[
�
]
[
�
]
+
=
�
�
�
(
�
[
�
]
−
1
)
f[i][j]+=ask(a[j]−1)，然后在转移到下一个
�
j之前
�
�
�
(
�
[
�
]
,
�
[
�
−
1
]
[
�
]
)
add(a[j],f[i−1][j])。 
�
j从小到大循环保证了
�
<
�
k �
[
�
−
1
]
[
�
−
1
]
f[i−1][j−1]的前缀和保证了
�
[
�
]
<
�
[
�
]
a[k]

复杂度
�
(
�
�
�
�
�
�
)
O(NMlogN)。

双倍经验：UVA12983

�
�
�
�
:
CODE:

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, a[30010], s[30010], m, f[4][30010], c[60010], ans;
ll val(int x) { return lower_bound(s+1, s+m+1, x) - s; }
ll ask(int x, ll sum = 0) {
    for(; x; x -= (x & (-x))) sum += c[x];
    return sum;
}
void add(int x, ll v) { for(; x <= m; x += (x & (-x))) c[x] += v; }
int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i],  s[i] = a[i];
    sort(s+1, s+n+1);
    m = unique(s+1, s+n+1) - s - 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) f[1][i] = 1, a[i] = val(a[i]);
    for(int i = 2; i <= 3; i++) {
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for(int j = 1; j <= n; j++) {
            f[i][j] = ask(a[j]-1);
            add(a[j], f[i-1][j]);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans += f[3][i];
    cout << ans << endl;
    return 0;
}