高数：数列的收敛

数列特点

1. 无限个数

2. 特定顺序

数列和集合区别

1. 集合可以乱序，数列不行

2. 集合出现重复元素依然相同，数列出现新的重复元素就不相等

[1，2，3，4]=[1，2，3，3，4]
对集合来说相等，对数列来说不相等。

数列的表示形式

求数列的单调性

作差，作商，求导，列举法，把极限和某项比较。

有界数列有上界和下界

如何证明一个数列无界？

eg：比较审敛法

2^n+1>2^n
2^n趋于无穷，2^n+1趋于无穷

证明数列收敛

1. 直接证明数列极限

找出N和的关系

2. 夹逼准则

夹逼准则的推论：如果数列的绝对值趋近于0，数列趋于零。

当数列的符号无法确定时，用绝对值证

3. 洛必达法则，无穷/无穷或0/0

洛必达法则是：量级的比较和同除n^p有异曲同工之妙。

4. 数列单调且有界，数列收敛

数列级数（series)的收敛公式和理解:

我们先来看结论：数列|an|收敛于0，且数列|an|递减或最终递减，那么数列级数收敛。

1.数列的几何意义是不连续函数与x轴围成的面积，是无穷积分的简化版。

2.数列收敛于0，是数列级数收敛的必要条件。

证明：

数列级数收敛，数列趋近于0，但数列趋近于0，数列（1/n）不一定收敛。

由1可以引入积分试验（Intergal test)

结论：无穷积分收敛，数列收敛

条件：数列单调减

*数列单调减是为了保证无穷积分能够大于数列级数。（这里隐含比较审敛的思想）

*去除第一块后，把第二块往左移，被积函数恰好大于数列级数，且这个操作不影响结果，如果从第二项开始收敛，那么从第一项开始也会收敛。

数列级数的比较审敛法

大数列的数列级数收敛，小数列的数列级数收敛。

小数列的数列级数发散，大数列的数列级数发散。

交错级数判别法

交错级数一般形式：

证明交错级数收敛

证明数列的绝对值：1.数列|an|收敛于0 2.数列|an|递减或者最终递减。

比值审敛法

如果L<1: 数列级数收敛

L>1:数列级数扩散

L=1:数列级数无法判断

（把他和数列最终递增递减来记）

根判别法法：比较审敛法和等比数列的变形

幂级数：

收敛半径：存在R，|x-a|R时，数列级数扩散。那么对于a+R,a-R两点的单调性，要代入讨论。

如果R无限，数列级数整个区间收敛，如果R=0，数列级数只在a上收敛

用根判别式来求R

缺项幂级函数，看成整体来记

根值判别的运用

一些公式及技巧

单调减的指数函数乘幂函数的收敛于0

证明：一直洛必达法则直到幂函数的系数为0。

由于指数的变化速率太快，使得幂函数的a是1或者k都一样。

的结果

n为项数，C为欧拉常数用来调和级数

习题

累乘无法相消，的极限趋向于1。

这意味着无法对每一项放缩成再相乘只能整体放缩

注意：

巧妙的放缩！

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