MIT算法导论七 哈希表

- 哈希表
- 哈希函数选择
- 哈希碰撞

由“符号表问题”引入什么是哈希
有一个表S有n条记录，每个记录（通常认为是指向数据的指针x）有一个Key和一些数据（属于键值key的附加数据），我们需要对这个表进行一系列操作：Insert、Search、Delete

最简单实现：直接映射表（键值分布比较小时有用）
假设键值来自一个有m个元素的集合U，并假设键值互相独立，建立一个数组T[0,1…m-1]，对于关键字k，如果在集合U中，把它存储在T[k]的位置上，查询、插入、删除的时间都是O(1)

这个方法的缺陷
如果关键字的范围比较大，那么建立的这个表的长度那么就大到无法接受
如果关键字不连续非常浪费空间

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Hashing
实现字典的一种数据结构就是哈希表，又称散列表，根据一个哈希函数将集合S中的关键字映射到一个表中，这个表就称为哈希表，就是把上述的直接映射，变成一个函数映射，这个函数就是哈希函数，而这种方法就称为Hashing

映射过程会遇到的问题：碰撞
多个键值经过哈希后指向同一个槽，碰撞有多种解决办法

链接法
把相同键值的数据存储在链表中
最坏情况，所有的键都落到一个槽中，操作的复杂度等于在链表中操作复杂度θ(n)
最好情况，O(1)

给定一个能存放n个元素，具有m个槽的散列表T，定义T的装载因子α为n/m，假设计算key的时间为O(1)，查找关键字为k的元素的时间取决于T[h(k)]的链表长度，平均情况下一次成功的查找需要θ(1+α)的时间

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如何选择哈希函数h
一个好的哈希函数应该能够将关键字均匀的分配到哈希表T中
关键字的分布率不应该影响这种均匀性

最常用的哈希函数

除法散列法
定义hash函数为 h(k) = k mod m
m的原则就是m选为质数且不能太接近2或者10的幂次
因为键值的低位可能具有某种分布规律，如果选择2或者10的幂次容易出现冲突

极端的一些例子
m=2
表中的所有的奇数位置都没用到，这便是关键字的分布规律(全偶)影响到了映射的均匀性
m=2^r
我们把关键字用二进制表示，那么如下的一个关键字，

只与后6位有关

乘法散列法
设m=2^r, 计算机是w-bit长的字，定义哈希函数是h(k) = (A*k mod 2^w) rsh (w-r)
rsh->右移位，A是一个在（2^w-1, 2^w）范围内的奇数

分析这个哈希函数(A*k mod 2^w)这一部分就是将乘法得到的结果只取一个字长 ，然后再rsh w-r位，就刚好只保留了最大是m的结果，可以很好的映射到表中。

假设m=2³，字长w是7-bit ，用车轮法考虑那个乘法过程：

车轮法

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其他解决碰撞的方法

开放寻址法
解决思路：当遇到冲突时那么便去寻找下一个空的地址，只要表足够大（表长度要大于集合S的数量），空的地址总能找到

线性探查
H(k, i) = (H(k) + i) mod m (i = 1,2,3,4....)

假设m=13，i=1，H(18) = 5 发生冲突，寻找下一个地址
H(18) = (5 + 1) mod 13 = 6 继续发生冲突，寻找下一个地址
...
这种算法可能遇到一次集群（二次集群，取决与每次加的i，问题是相同的）的问题，如果某个连续空间都被占用，浪费效率

二次哈希
H(k, i) = (H_1(k) + i·H_2(k)) mod m (i = 1,2,3,4)

对于一个开放寻址的哈希表，α=n/m<1，那么一次不成功搜索的预期探寻次数为1/(1-α).

证明过程