Unity与高斯分布——Part1：理解高斯分布

原文链接： https://www.alanzucconi.com/2015/09/09/understanding-the-gaussian-distribution/

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• 引言

考虑一下如何在一个平面上生成随机点。这些点可以代表敌人，树木，或者任何实例。在Unity中最简单的方式就是：

Vector3 position = new Vector3();
position.x = Random.Range(min,max),
position.y = Random.Range(min,max);
transform.position = position;

用Random.Range就可以生成下图中蓝色盒子内的点了。这些点均匀地散布在平面内，使得整个平面点的密度一致。

只是许多自然现象并不服从均匀分布，它们更像上图左边中的红点那样服从另一种概率分布：高斯分布。经验法则是：在自然场景中如果有某个值在一个确定的值附近徘徊，那么它很可能服从高斯分布。例如：

伤害：一个敌人，或者一把武器可造成的输出。

粒子密度：在某个特定物体附近的粒子的数目（火星子，灰尘等等）。

青草绿树：树与草在一个生态系统中的分布，例如一个湖边上植物的位置，或是一座山上石头的分布。

 

• 理解均匀分布

当你掷骰子时，掷出6点的概率是1/6。从概率学的角度上说，扔骰子就是从一个均匀的，离散的分布中采样一个值的过程，如下左图所示。每个均匀分布都能用一个n面骰子来表示。每个面x有着相同的被选中的概率：1/n。类似Random.Range的函数，返回的则是一个连续的，在一定范围之上的均匀分布，如下右图所示。

在许多案例中，均匀分布是一个好的选择。例如从一套卡组中随机选择一张卡就可以用其完美建模。

 

• 何为高斯分布

自然界中有许多现象不服从均匀分布。例如，当你测量一个屋子里人的身高时，你会发现有些值的出现次数要显著地高于其他值。大部分人身高相若，极高或极矮的人很罕见。随机从房间里选一个人，他的身高很可能与均值很接近。这些现象是典型的服从高斯（或正态）分布的。高斯分布中一个给定值的出现概率为：

均匀分布仅有一个参数n，而高斯分布则有两个参数和 ，分别代表均值和方差。均值反映了概率曲线的中心位置所在，而方差则显示了某个服从该分布的随机值偏离均值的可能性。

若某个变量X服从高斯分布，则可将其写作：

 

• 高斯分布示例

让人吃惊的是，高斯分布可以通过正态分布产生。尽管两者在表达式上大相径庭，却有着密切的联系。我们想象一下，有个酒鬼正在下图中走路：他从图的左侧中间点出发，每次往右走一步时，他以等概率往上/下走一步。在x步以后他最有可能走到哪儿去呢？

因为每步都是等概率的，所以上图所有的路径都是等概率发生的。然而越往两边的终点走，路线越少；越往中间走，路线越多。因此这个酒鬼最有可能待在离中心的终点附近。如果有足够多的酒鬼和足够的时间去走路，那么他们最终的位置计数图将很接近于高斯分布。

这个理论在19世纪被Francis Galton以bean machine实验验证过，如下图所示。这一实验背后隐藏着中心极限定理的思想：在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。

• 高斯分布推演

回头看看那个bean machine，想想每个球落入一个确定柱子里的概率是多少呢？

这就是所谓的二项分布。只是这个式子看上去一点也不“高斯分布”，怎么办呢？

令n趋近于无穷大，将离散的数值转为连续的——

首先，要将二项式系数扩展一下。这个式子由阶乘构成，而根据斯特林公式：，该式可转换成：，其中，。