向量、矩阵、数组、向量空间

在学习机器学习的过程中，会经常遇到向量、矩阵和数组这些概念，并涉及到多维度，造成许多困惑，因此进行一个总结，主要参考了：https://blog.csdn.net/qq_33419476/article/details/105546442。

向量

概念：n个有次序的数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数$a_i$称为第i个分量。(同济大学线性代数第五版-4.1)

n维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算。

n维行向量：$a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

n维列向量：
a ⊤ = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \mathbf{a}^\top= \begin{equation} \left( %左括号 \begin{array}{} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right) %右括号 \nonumber \end{equation} a⊤= ​a1​a2​⋮an​​ ​​
Note: 这个解释其实是说在线性代数中，向量和矩阵其实是一回事。不同的是矩阵论阶，向量论维。

矩阵

矩阵定义：由m×n 个数$a_{ij}$（i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n）排成的m 行n 列的数表。（同济大学线性代数第六版）
$$\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}$$
称为m 行n 列矩阵，简称m×n 矩。

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。因此可知向量可以组成矩阵，矩阵是包含向量的。

二维矩阵：

二维矩阵的维度类似于空间向量的维数，而不是一个包含两个元素的列矩阵。所以，我们通常会说矩阵的维度是指矩阵的行数。

数组

概念：所谓数组，是有序的元素序列。

这里的概念就没有涉及到空间了，我们通常称的n维数组，这里的维度指的不是空间的维度，而是数据所构成的维度。

例如：

一维数组
[1, 2, 3, 4]

二维数组
[[1, 2],[3, 4]]

三维数组
[[[1, 2], [3, 4]], [[5, 6], [7, 8]]]

数组常用在python等编程语言中实现向量、矩阵等数据结构。

向量空间

几何中，“空间”通常是作为点的集合，即构成“空间”的元素是点，这样的空间叫做点空间。

我们把3 维向量的全体所组成的集合叫做3维向量空间。类似的，n维向量的全体所组成的集合叫做n维向量空间。

Note: 这里n维向量空间的概念应该可以理解成n x n矩阵。

在同济大学线性代数第六版中，矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。例如，一个mxn矩阵的全体列向量是一个含n个m维列向量的向量组。