0x15 字符串

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1.KMP模式匹配

KMP算法，又称模式匹配算法，能够在线性时间里判断字符串$A[1\sim N]$是否为字符串$B[1\sim M]$的子串，并求出字符串A在字符串B中各次出现的位置。

详细地讲，kmp算法分为两步：

1.对字符串A进行自我匹配，求出一个数组$next$，其中$next[i]$表示“A中以i结尾的非前缀子串”与“A的前缀”能够匹配的最大长度，即：
$$next[i]=max\{j\},其中j<i并且A[1\sim j]=A[i-j+1\sim i]$$
特别的，当不存在这样的$j$时，令$next[j]=0$。

2.对字符串A和字符串B进行匹配，求出一个数组$f$，其中$f[i]$表示“B中以$i$结尾的子串”与“A的前缀”能够匹配的最长长度，即：
$$f[i]=max\{j\},其中j\le i并且A[1\sim j]=B[i-j+1\sim i]$$
下面讨论$next$数组的计算方式。根据定义，$next[1]=0$。接下来我们按照$i=2\sim N$的顺序依次计算$next[i]$。

next数组构造过程中的回溯问题：

下面的长条代表子串，红色部分代表当前匹配上的最长相等前后缀，蓝色部分代表$t.data[j]$。

现在我们可以写出算法实现的框架与思路。

KMP算法$next$数组求法：

1.初始化$next[1]=j=0$，假设$next[1\sim i-1]$已求出，下面求解$next[i]$。

2.不断尝试扩展匹配长度$j$，如果扩展失败（下一个字符不匹配），令$j$变成$next[j]$，直至$j$变成0（应该重新从头开始匹配了）。

3.如果能扩展成功，匹配长度就增加1。$next[i]$的值就是$j$。

int next[SIZE];
void getNext()
{
    next[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=n;++i)
    {
        while(j>0&&a[i]!=a[j+1])
            j=next[j];
        if(a[i]==a[j+1])
            ++j;
        next[i]=j;
    }
}

因为定义的相似性，求解$f$与求解$next$的过程是基本一致的。

KMP算法$f$数组的求法：

for(int i=1,j=0;i<=m;++i)
{
    while(j>0&&(j==n||b[i]!=a[j+1]))
        j=next[j];
   	if(b[i]==a[j+1])
        ++j;
   	f[i]=j;
    // if(f[i]==n) 此时就是A在B中某一次出现
}

这就是KMP匹配算法，整个算法的时间复杂度为$O(N+M)$。

2.最小表示法

给定一个字符串$S[1\sim n]$，如果我们不断把它的最后一个字符放到开头，最终会得到$n$个字符串，称这个字符串是循环同构的。这些字符串中字典序最小的一个，称为字符串$S$的最小表示。

与$S$循环同构的的字符串可以用该字符串在$S$中的起始下标表示，因此我们可以$B[i]$来表示从$i$开始的循环同构字符串，即$S[i\sim n]+S[1\sim i-1]$。

如何求出一个字符串的最小表示呢？朴素做法是：按照定义依次比较$n$个循环同构的字符串，比较时依次比较两个字符串的每个字符，直到找到两个不相等的位置获得其大小关系，找到其中字典序最小的一个。时间复杂度为$O(n^2)$。

实际上，一个字符串的最小表示可以在$O(n)$的时间复杂度里找出。我们首先把$S$复制一遍接在它的结尾，得到字符串$SS$。显然，$B[i]=SS[i\sim i+n+1]$。

对于任意的$i$，$j$，我们仔细观察$B[i]$和$B[j]$的比较过程：

如果在$i+k$与$j+k$处发现不相等，假设$SS[i+k]>SS[j+k]$，那么我们当然可以得知$B[i]$非最小表示。除此之外，我们还可以得知$B[i+1],B[i+2]...B[i+k]$也都不是$S$的最小表示。这是因为对于$1\le p\le k$，存在一个比$B[i+p]$的更小的循环同构串$B[j+p]$（从$i+p$与$j+p$开始向后扫描，同样会在$p=k$时发现不相等，并且$SS[i+k]>SS[j+k]$）。

最小表示法步骤：

1.初始化$i=1$，$j=2$。

2.通过直接向后扫描的方法，比较$B[i]$和$B[j]$两个循环同构串。

（1）如果扫描了$n$个字符后仍相等，说明$S$有更小的循环元（例如catcat有循环元cat），并且该循环元已扫描完成，$B[min(i,j)]$即为最小表示，算法结束。

（2）如果在$i+k$和$j+k$处发现不相等：

若$SS[i+k]>SS[j+k]$，令$i=i+k+1$。若此时$i=j$，再令$i=i+1$。

若$SS[i+k]<SS[j+k]$，令$j=j+k+1$。若此时$i=j$，再令$j=j+1$。

3.若$i>n$或$j>n$，则$B[min(i,j)]$为最小表示；否则重复第2步。

该算法通过两个指针不断向后移动的形式，尝试比较每两个循环同构串的大小。如果每次比较向后扫描了$k$的长度，则$i$或$j$之一会向后移动$k$，而$i$和$j$合计最多向后移动$2n$的长度，因此算法复杂度为$O(n)$。

int n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;++i)
    s[n+i]=s[i];
int i=1,j=2,k=0;
while(i<=n&&j<=n)
{
    for(k=0;ks[j+k])
    {
        i=i+k+1;
        if(i==j)
            i++;
    }
    else
    {
        j=j+k+1;
        if(i==j)
            j++;
    }
}
int ans=min(i,j); //B[ans]是最小表示