U4_2：图论之MST/Prim/Kruskal

一、最小生成树-MST

无向图，无环，所有点连通，边权重和最小
(没有权重标注就默认为1）

生成MST策略

1. 从一个空图开始。
2. 尝试一次添加一条边，始终确保所构建的保持无循环。
3. 如果在添加了每条边之后，我们确定生成的图是某个最小生成树的子集，我们就完成了。

一些定义

集合$A$是最小生成树$T$的子集，当$AU(u,v)$也是$MST$子集时，$(u，v)$是安全的。
切割$cut$：$(S,V-S)$
$a$ $cut$ $respects$ $a$ $set$ $A$ $of$ $edges$ $if$ $no$ $edges$ $in$ $A$ $crosses$ $the$ $cut$.
An edge is a light edge crossing a cut if its weight is the minimumof any edge crossing the cut

思路

(S, V - S) be any cut of G that respects A
(u, v) be a light edge crossing the cut (S, V - S)Then, edge (u, v) is safe for A.
则 lt means that we can find a safe edge by

1. first finding a cut that respects A
2. then finding the light edge crossingthat cut
   That light edge is a safe edge

彩蛋

本质上下面所要讲的Prim算法和Kruskal算法都是依据这个总思路来的，先分隔cut，然后根据cut找light edge，最后不断生成MST

二、普里姆算法（Prim算法）

思路

1. 首先选择任意顶点r作为树的根。
2. 当树不包含图中的所有顶点时:找到离开树的最短边并将其添加到树中。
   这个思路可以想到，每次的cut就是选入作为顶点的集合$S$和未选入的顶点$G-S$

算法流程

数据存储

区分cut：最初始是空集，所有顶点被标记为白色，选入的顶点标记为黑色
利用优先队列存储
利用优先队列（小顶堆）去寻找$the$ $lighest$ $edge$（相应函数如下）
3. $Insert(u,key)$:用键值key在Q中插入u。
4. $u=Extract-min()$:提取键值最小的项。
5. $Decrease-Key(u,new-key)$:将u的键值减小为new-key
利用$pred[A]$去存储每个顶点的存储顺序

分析

$the$ $lighest$ $edge$本质上是在黑白分界点的这些边中寻找，因此每次更新都需要维护这些点($key$)。
初始的时候设为$inifinity$，每次加入新顶点时就找到它的所有边判断是否比现在的key是否更小了，如果更小了就可以更新并且换前驱

伪代码

for u ∈ V do
	color[u] ← white,key[u] ← +∞
end
key[u] ← 0,pred[r] ← null;	//最开始的顶点
Q ← new PriQueue(V)   
while Q is  noempty do
	u ← Q.Extract-Min(); //the lighest edge   
	for v ∈ adj[u] do
		if(color[u] ← white && w[u,v] < key[u]) then
			key[u] ← w[u,v]
			Q.decrease-Key(v,key[u]) 
			pred[v] ← u
		end
	end
	color[u] ← black
end

时间复杂度分析

创建优先队列$O(VlogV)$，每次循环$Extract-Min$为$log(V)$，总共V个顶点，总时间复杂度为$O(VlogV)$。每次循环$Decrease-Key$为$O(logV)$，因为循环内每次更新都是针对边来说，所有边都遍历一遍，因此循环内总时间复杂度为$O(ElogV)$，总时间复杂度为$T(n)=O((V+E)logV)=O(ElogV)$

三、克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）

分析

1. 从一个空图开始。
2. 尝试一次添加一条边，始终确保所构建的保持无循环。.
3. 如果我们在每一步都确定生成的图是某个最小生成树的子集，我们就完成了。

与Prim的算法生长一棵树不同，Kruskal的算法生长一组树(森林)。
最初，这个森林只由顶点组成(没有边)。
在每一步中，添加不产生循环的权重最小的边。
继续直到森林“合并”成一棵树。

本质上，也是继承于一说的主算法：
设A为Kruskal算法选择的边集，设(u, v)为下一步要添加的边。这足以说明这一点：
$there$ $is$ $a$ $cut$ $that$ $respects$ $A$
$(u,v)$ $is$ $the$ $light$ $edge$ $crossing$ $this$ $cut$

算法流程

1. 刚开始$A$为空集，$F$存入所有边并且从小到大排序，
2. 在F中选择一条权值最小的边e，检查将e加到A上是否形成一个循环。
   构成循环，则从F移除
   不构成循环，则从F添加进A
3. F为空集时停止操作

现在有个问题，怎么才能不形成环呢，
在框架算法的每一步中，$(V,A)$都是非循环的，因此它是一个森林，一个顶点延申两条枝干，且枝干之间没有路径，这样就是森林。因此：
如果$u$和$v$在同一棵树中，则将边$u,v$添加到A中创建一个循环。
如果$u$和$v$不在同一棵树中，那么将边$u,v$添加到$A$中不会创建一个循环。

根据这个性质，如果一条边被选中，它的两个端点若在一个树上，那么再将这条边添加进树时，肯定会形成环，根据这一性质，我们可以维护并查集去判断是否成环

并查集-Find-set

本质上，并查集就是一个个树集合，每个元素都唯一指向它的父亲，根节点父亲就是子集，因此每棵树的唯一标识就是根节点。如果两个元素唯一标识一样，那它们就在一棵树上。

$judge$ $find-set(u)$ $==$ $find-set(v)$，维护$find-set$过程如下：

1. $Create-setu)$:创建包含单个元素$u$的集合。$O(1)$

x.parent ← x

2. $Find-set(u)$:查找包含元素u的集合(假设每个集合都有唯一的ID，后面可知是树的根节点)。$O(logn)$

while x != x.parent do
	x ← x.parent
end

3. $Union(u,v)$:将分别包含u和v的集合归并为一个公共集合。（当判断完不会形成环后，可以合并).$O(logn)$（找树的根节点费时，其他都是$O(1)$时间）
   注意当我们将两棵树合并在一起时，我们总是将高树的根作为矮树的父树。不然会很畸形，费时。
   如果两棵树有相同的高度，我们选择第一棵树的根指向第二棵树的根。树的高度增加了1（根节点+被合并的子树，因此高度+1）。其他情况下树的高度都是不变的。

a ← Find-Set(x)
b ← Find-Set(y)
if a.height <= b.height then
	if a.height is equal to b.height then
		b.hright++;
	end
	a.parent ← b
end
else
	b.parent ← a
end

伪代码

sort E in increasing order by weight w;
A ← {}
for u ∈ V do
	Create-Set(u);
end
for ei ∈E do  //ei两个端点为ui,vi
	if(find-set(ui)!=find-set(vi)) then
		add {ui,vi} to A
		Union(ui,vi)
	end
end
return 

时间复杂度分析

排序用时$O(ElogE)$，$create-set$用时$O(V)$，循环次数是边的次数$E$，每次循环$union$花费$log(V)$，总时间复杂度$O(ElogV)$，因此总花费$T(n)=O(ElogE)$（边比顶点多，取大的）