近世代数理论基础15：群的直积

群的直积

群的直积是由已知群出发构造新的群的常用方法

外直积

设为群,积集合

在G中按分量相乘的形式引入G的一个乘法：

易证G关于上述乘法构成一个群

令分别为的单位元

令,,其中

故e为G的单位元

类似可证,的逆元为,其中为在中的逆元

定义：设为群,则关于上述定义的乘法构成的群称为的外直积

例：设,,则是一个阶有限群,其中为单位元

中的逆元为,中的逆元为,故在G中的逆元为

是6阶循环群,是8阶循环群,不是48阶循环群,,有,,有,故,从而在G中的阶是24的因数,不可能为48

注：

1.是交换群每个群都是交换群

2.在群中,对,令,则

(1)是G的正规子群

(2)同构于群

(3)

(4),有

证明：

内直积

定义：设为群G的正规子群,若满足条件：

1.

2.,有

则称G为的内直积,记作

注：若是的外直积,则的内直积

内直积与外直积

定理：若为内直积,则存在群,使得

1.,有

2.H与外直积同构

证明：

例：模6的剩余类加群,令,

且

由内直积的定义,

同构于外直积

同构映射如下