容斥原理的并

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简介

推荐题解：https://www.acwing.com/solution/content/126553/
画了图，清晰易懂，懒得打字了。
总之就是以下公式：$$\begin{array}{rl}S=& S_1+S_2+S_3\\ & -S_1\cap S_2-S_1\cap S_3-S_2\cap S_3\\ & +S_1\cap S_2\cap S_3\end{array}$$
我们可以把这个式子推导到 $n$ 维，奇加偶减。

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AcWing 890. 能被整除的数

题目链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/960/

思路解析

筛出一个数的倍数，两个数的倍数 … $n$ 个数的倍数，这就抽象成了 $n$ 个集合的问题了。

那么如何表示选取哪几个集合（质数）呢？

• 从 $1$ 开始枚举到 $n$，将每个数看成二进制形式，如果说第 $k$ 位是 $1$，那么就代表选第 $k$ 个集合，反之不选。

如何知道被整除的数的个数？公式：$n/p$ 下取整即可。

最后判断是奇数个还是偶数个，这个判断利用了二进制的一个性质：除了 $2^0$，其他所有位的和都是 $2$ 的整数倍，所以说看是否为奇数就看它二进制最后一位是否为 $1$。

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CODE

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long ll;  // 定义长整型别名为ll

const int N = 20;  // 定义常量N为20
int n, m;  // 定义整型变量n和m
int p[N];  // 定义整型数组p，大小为N

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);  	// 从输入中读取两个整数n和m
    
    for(int i = 0; i < m; ++i) scanf("%d", &p[i]);  // 从输入中读取m个整数到数组p中
    
    int res = 0;  	// 初始化结果为0
    for(int i = 1; i < (1 << m); ++i){  // 遍历所有的子集
        int s = 0, t = 1;  	// 初始化s和t
        
        for(int j = 0; j < m; ++j){  	// 遍历每一位
            if(i >> j & 1){  	// 如果第j位为1
                if((ll)t * p[j] > n){  	// 如果t乘以p[j]大于n
                    t = -1;  	// 将t设置为-1
                    break;  	// 跳出循环
                }
                t *= p[j];  // 更新t
                s++;  // 增加s
            }
        }
        
        if(t == -1) continue;  	// 如果t为-1，跳过当前循环
        
        if(s & 1) res += n / t;  // 如果s为奇数，增加n/t到res
        else res -= n / t;  	// 否则，从res中减去n/t
    }
    
    cout << res << endl;  // 输出结果
}