折纸：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解

2018年理数全国卷A题18（12分）

如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .

（1）证明∶平面 平面;

（2）求 与平面 所成角的正弦值.

2018年理科数学全国卷A

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【解答问题1】

∵ 四边形 为正方形， 分别为 的中点，

∴ , 是矩形，

又 ∵ , ∴ 平面

又 ∵ 平面 ,

∴ 平面 平面. 证明完毕.

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【解答问题2】

令 .

在平面 内作 , 点 为垂足.

在平面 内作 , 点 为垂足.

根据前节结论， 平面 ，而 平面 , ∴

又∵ , ∴ 平面

又∵ , 根据三垂线定理可得：, 是直角三角形；

∵ 分别为 的中点，∴

根据三角形的相似关系可知：

, ,

∵ , 根据勾股定理可得：

又 ∵

∴ 与平面 所成角的正弦值

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【提炼与提高】

折纸类问题，既考立体几何，又考平面几何；是高考中常用的命题模式.

本题第1问，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出面面垂直，体现了转化的思想。在立体几何中是很典型的做法。

第2问待求量为线面角的正弦，我们用几何方法解答，首先找出点 在平面 内的投影，然后根据三角形的相似关系算出了 长度，问题就解决了. 在这个过程中直到关键作用的是如下知识：

『三垂线定理』

平面几何：『相似三角形的判定及性质』

本题中出现了几个特殊的直角三角形，三边比等于 ；这个三角形在高考数学和高考物理中经常出现，详见下文：

初高中衔接讲座：正方形内的直角三角形

四个面都是直角三角形的四面体有个专门的名字：鳖臑. 本题中出现了两个鳖臑：. 这点也请留意一下.

本题第2问还有一种解法，就是用体积公式来完成计算。详见下文：

折纸：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

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