MIT_线性代数笔记：第 18 讲 行列式及其性质

课程进入第二大部分，之前学习了大量长方形矩阵的性质，现在我们集中讨论方阵的性质，行列式和特征值将我们的又一个重点，求行列式则与特征值息息相关。

行列式 Determinants

行列式是一个每个方阵都具有的数值，我们将矩阵 A 的行列式记作
d e t ( A ) = ∣ A ∣ det(A)= \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} det(A)= ​A​ ​
它将尽可能多的矩阵信息压缩在这一个数里。例如矩阵不可逆或称奇异与矩阵的行列式等于 0 等价，因此可以用行列式来判定矩阵是否可逆。

性质 Properties

直接给出 n 阶行列式的公式，则一下子代入了大量信息，并不利于接受这个概念，我们从行列式的三个性质开始讲起，这三个性质定义了行列式。
这里可以给出二阶行列式的表达式
∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a \quad b \\ c \quad d \end{vmatrix} \quad = \begin{matrix} ad - bc \end{matrix} ​abcd​ ​=ad−bc​

我们可以用它来验证行列式的性质，也可以看到它本身是可以从行列式的性质推导出来的。

1. det(I)=1 。
   ∣ 1 0 0 1 ∣ = + 1 \begin{vmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad 1 \end{vmatrix} \quad = \begin{matrix} +1 \end{matrix} ​1001​ ​=+1​
2. 如果交换行列式的两行，则行列式的数值会反号。从前两条可以推知置换矩阵的行列式是+1 或者-1。
   ∣ 0 1 1 0 ∣ = − 1 \begin{vmatrix} 0 \quad 1 \\ 1 \quad 0 \end{vmatrix} \quad = \begin{matrix} -1 \end{matrix} ​0110​ ​=−1​
3. (a)如果在矩阵的一行乘上 t，则行列式的值就要乘上 t。
   (b)行列式是“矩阵的行”的线性函数。
   ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \begin{vmatrix} ta \quad tb \\ c \quad d \end{vmatrix} \quad = t \begin{vmatrix} a \quad b \\ c \quad d \end{vmatrix} ​tatbcd​ ​=t ​abcd​ ​

∣ a + a ′ b + b ′ c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a ′ b ′ c d ∣ \begin{vmatrix} a + a' \quad b + b' \\ c \quad d \end{vmatrix} \quad = \begin{vmatrix} a \quad b \\ c \quad d \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a' \quad b' \\ c \quad d \end{vmatrix} ​a+a′b+b′cd​ ​= ​abcd​ ​+ ​a′b′cd​ ​

4. 如果矩阵的两行是完全相同的，则它的行列式为 0。这可以从第二条性质推导出来，因为交换这个相同的两行，行列式应该变号；但是新生成的矩阵跟原矩阵没有区别，因此行列式应该不变，所以有 det = -det，所以 det 等于 0。

5. 从矩阵的某行 k 减去另一行 i 的倍数，并不改变行列式的数值，我们以二阶为
   例：
   

6. 如矩阵 A 的某一行都是 0，则其行列式为 0。可以应用性质 3(a)，取 t=0 证明。

7. 三角阵的行列式的值等于其对角线上数值（主元）的乘积。
   
   性质 5 告诉我们三角阵通过行消元法得到对角阵的过程中，行列式的数值没有发生变化。性质 3(a)告诉我们对角阵的行列式等于其主元的乘积再乘以单位阵的行列式。而性质 1 表明单位阵行列式为 1。

8. 当且仅当矩阵 A 为奇异矩阵时，其行列式为 0。 如果矩阵 A 为奇异阵，则必可通过消元法使得矩阵的某行全等于零，则按照性
   质 6，A 的行列式为 0。 如果其不是奇异阵，则通过消元可以得到一个上三角矩阵，且其主元均不为 0，则按照性质 7，行列式的数值等于主元的乘积也不等于 0。
   计算非奇异矩阵的行列式有确切的公式，但通常计算机是靠消元的方法来转化为三角阵，然后将主元相乘来进行计算的。
   

9. det(AB)=det(A)det(B)
   尽管矩阵的和的行列式不等于行列式的和，但矩阵乘积的行列式等于矩阵行列
   式的乘积。
   如果 A 为可逆矩阵，则 $A^{-1}$ A=I，所以有
   $$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$$
   此外，det($A^2$)=$det(A{)}^2$ 并且有 det(2A)=$2^n$det(A)。后一个公式让我们容易联想到体积，当长宽高都倍增之后，体积变成了原来的 $2^3$=8 倍。

10. det($A^T$)=det(A)
    证明： 矩阵消元可得A=LU，则$A^T$=$U^T$$L^T$，由性质9可知det(A)=det(L)det(U)，
    det($A^T$)= det($L^T$)det($U^T$)，根据性质 7 可知 det($L^T$)=det(L)，det($U^T$)=det(U)
    则二者乘积相等。
    因为性质 10 成立，所以性质 2,3,4,5,6 可以用在行列式的列性质上。 行列式的性质 2 中隐藏着一个内容，这就是置换隐藏着奇偶性，一个矩阵不可能经过奇数次置换得到和偶数次置换相同的方阵。