带max的数学期望

问题描述

设总体 $X\sim U[0,\theta ]$ , 其中 $\theta >0$ , $X_1,X_2，\cdots ,X_n$ 为其样本,

(1) 求 $\theta$ 的矩估计量 $\widehat{{\theta }_1}$ 和最大似然估计量 $\widehat{{\theta }_2}$

(2) 求 $E(\widehat{{\theta }_1})$ 和 $E(\widehat{{\theta }_2})$

题解

解析

关于 $F_{\widehat{{\theta }_2}}(x)=[F(x){]}^n$ 怎么得来 ?

首先 , $F_{\widehat{{\theta }_2}}(x)=P\{\widehat{{\theta }_2}\le x\}=P\{max\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\le x\}=\lambda$

$\because$ 最大值比 $x$ 小 , 所以所有 $X_i$ 都比 $x$ 小, 又因为 $X_i$ 之间相互独立,

$\therefore$ $\lambda =P\{X_1<=x\}\times P\{X_2<=x\}\times \cdots \times P\{X_n<=x\}=[F(x){]}^n$