两个随机变量之和的分布

(X,Y)是二维连续型随机变量,其联合概率密度为f(x,y),则Z=X+Y仍然为连续型随机变量,其概率密度为:

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy,\; \; \; \; \; \; (1)

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx,\; \; \; \; \; \; (2)

(X,Y)关于X的边缘概率密度为f_{X}(x),关于Y的边缘概率密度为f_{Y}(y)如果XY相互独立,上面的公式(1)和(2)化简为:

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy,\; \; \; \; \; \; (3)

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx,\; \; \; \; \; \; (4)

公式(3)和(4)称为f_{X}f_{Y}卷积公式,记为f_{X}*f_{Y},即

f_{X}*f_{Y}=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx

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