斐波那契数列之青蛙跳和汉诺塔问题

什么是斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
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斐波那契数列的C语言实现

方法一 递归法

斐波那契数从第三项开始 每一项是前两项的和

所以可以根据数列的生成方式 通过变量之间的相加赋值实现

代码如下

#include
int main()
{
    int tmp = 0;// a b c 
    int ret = 0;
    int i = 0;
    int n = 0;
    int a = 1;
    int b = 1;
    int c = 2;
    scanf_s("%d", &n);
    if (n <= 2)
        ret= 1;
    else
    {
        for (i = 0; i         {
            ret = a + b;
            c = ret;
            a = b;
            b = c;
        }
    }
    printf("%d", ret);
    return 0;
}

用if else 语句判断n是否大于等于2

当n<=2 及n=1 或者2 的时候直接输出1

当n=>2 时就是要进行n-2次加法循环 循环后用中间变量赋值

此处用for 或者while 都可以

方法二

递归法求解

根据定义有如下方法

#include
int Fibona(int n)
{
    if (n <= 2)
    {
        return 1;
    }
    else
        return  Fibona(n - 1) + Fibona(n - 2);
}
int main()
{
    int n = 0;
    scanf_s("%d", &n);
int ret=Fibona(n);
    printf("%d", ret);
    return 0;
}
封装一个Fibona数列进行递归操作

递归操作的本质就是化为简单重复的操作（但是要考虑运算的复杂度问题 ）

建议还是使用第一种非递归的操作方式 递归操作运算次数过多 大量数据被重复计算

青蛙跳台阶问题

青蛙跳的背景其实就是斐波那契数列

题目：（1）一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

分析：当n = 1， 只有1中跳法；当n = 2时，有两种跳法；当n = 3 时，有3种跳法；当n = 4时，有5种跳法；当n = 5时，有8种跳法；

n    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
sum    1    2    3    5    8    13    21    34    55    89
规律如下：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)
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观察数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 。。。。。。。 本质上就是斐波那契数列方法和前面的实现部分相同 

汉诺塔问题

也

汉诺塔问题的源于印度一个古老传说的益智玩具。大焚天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照先大后小的顺序摞着64片圆盘。大焚天命令婆罗门把圆盘从下面按大小顺序重新摆放在另一根柱子上，并且规定在小盘子上不能放大盘子，在三根柱子之间一次只能移动一个盘子。

要把A柱上的盘子全部都移动到B柱上，并且要遵循以下规则：

1、一次只能移动原著最上面的一个盘子

2、小盘子上面不能放大盘子。
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如图三根柱子 

法一 根据数学归纳法可以得出斐波那契数列（不做过多说明）

法二根据递归 当有 n=1 可以看成把那一个盘子相对地面一到C

                              n=2 时就是看成把最下面的盘子看成地面 先移动上面一个再移动下面一个

   依此类推              n=3时 把上两个相对第三个看成地面

顾每次只要如果我们将最下面一层（第n层）的作为参照物的话，那么对于上面（n-1）层而言，第n层就相当于地面，我们就只需要先把上面（n-1）层挪到B上去，然后把第n层挪到C上去，在进而想办法把B上的n层挪到C上去就可以完美的解决问题了。此时问题就转化为了，两个n-1层汉诺塔求解问题。而n-1层汉诺塔问题我们在上面已经得出结论了，他就相当于两个n-2层汉诺塔问题。