DP数字三角形模型

摘花生

题目描述：
$Hello$ $Kitty$ 想摘点花生送给她喜欢的米老鼠
她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从 西北角 进去，东南角 出来
地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生
$Hello$ $Kitty$只能 向东 或 向南 走，不能 向西 或 向北 走
问$Hello$ $Kitty$最多能够摘到多少颗花生

输入格式：
第一行是一个整数 $T$，代表一共有多少组数据。

接下来是 $T$ 组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数 $R$ 和列数 $C$。

每组数据的接下来 $R$ 行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有 $C$ 个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目 $M$。

输出格式：
对每组输入数据，输出一行，内容为$Hello$ $Kitty$能摘到得最多的花生颗数。

数据范围：
$1\le T\le 100,1\le R,C\le 100,0\le M\le 1000$

输入样例：

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

输出样例：

8
16

代码实现

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
for _ in range(n):
    row, col = map(int, input().strip().split())
    w = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(row)]
    f = [[0] * (col + 1) for _ in range(row + 1)]
    for i in range(row):
        for j in range(col):
            f[i + 1][j + 1] = max(f[i + 1][j], f[i][j + 1]) + w[i][j]
    print(f[-1][-1])

最低通行费

题目描述：

一个商人穿过一个 $N$ × $N$ 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 $1$ 个小方格，都要花费 $1$ 个单位时间。

商人必须在 $(2N-1)$ 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式：

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 $N$。

后面 $N$ 行，每行 $N$ 个不大于 $100$ 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式：

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围：
$1\le N\le 100$

输入样例：

5
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

代码实现

注意边界情况，避免边界外状态的更新，因此要分情况 $j>0$ 和 $i>0$ 来更新状态。

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
g = [list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(n)]
f = [[0x3f3f3f3f] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
f[1][1] = g[0][0]
for i in range(n):
    for j in range(n):
        if j > 0: f[i + 1][j + 1] = min(f[i + 1][j] + g[i][j], f[i + 1][j + 1])
        if i > 0: f[i + 1][j + 1] = min(f[i][j + 1] + g[i][j], f[i + 1][j + 1])
print(f[-1][-1])

方格取数

题目描述：

设有 $N\times N$ 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字 $0$。如下图所示：

某人从图中的左上角 $A$ 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 $B$ 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 $0$）。

此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式：

第一行为一个整数 $N$，表示 $N\times N$ 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 $1$ 开始。

一行 0 0 0 表示结束。

输出格式：

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围：
$N\le 10$

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

67

四维实现

采用 $f[x_1][y_1][x_2][y_2]$ 表示分别到 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_y)$ 的最大值状态，由此确定了状态转移方程为：
$$f(x_1,y_1,x_2,y_2)\Leftarrow \{\begin{array}{ccc}f(x_1-1,y_1)& f(x_2-1,y_2)& 下下\\ f(x_1-1,y_1)& f(x_2,y_2-1)& 下右\\ f(x_1,y_1-1)& f(x_2-1,y_2)& 右下\\ f(x_1,y_1-1)& f(x_2,y_2-1)& 右右\end{array}$$
假若重复走到一个格子，即$(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 坐标相等，只用 $前状态+w[x_1][y_1]$ 来更新；若不重复则 $前状态+w[x_1][y_1]+w[x_2][y_2]$ 来更新。

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
w = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
while True:
    a, b, c = map(int, input().strip().split())
    if a == 0 and b == 0 and c == 0:
        break
    w[a][b] = c
f = [[[[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
for i1 in range(1, n + 1):
    for j1 in range(1, n + 1):
        for i2 in range(1, n + 1):
            for j2 in range(1, n + 1):
                t = w[i1][j1]
                if (i1, j1) != (i2, j2):
                    t += w[i2][j2]
                f[i1][j1][i2][j2] = max(f[i1 - 1][j1][i2 - 1][j2], f[i1 - 1][j1][i2][j2 - 1],
                                        f[i1][j1 - 1][i2 - 1][j2], f[i1][j1 - 1][i2][j2 - 1]) + t
print(f[-1][-1][-1][-1])

三维优化

采用 $f[k][x_1][x_2]$ （妙）表示分别到 $(x_1,k-x_1)$, $(x_2,k-x_2)$ 的最大值状态，$k$ 用来表示总走过的步数，$y_1$表示为$k-x_1$，$y_2$表示为$k-x_2$，且只有 $x_1+y_1=x_2+y_2$ 的情况下，会发生重复走到同一个格子的情况。

import sys
input = sys.stdin.readline

n = int(input().strip())
w = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
while True:
    a, b, c = map(int, input().strip().split())
    if a == 0 and b == 0 and c == 0:
        break
    w[a][b] = c
f = [[[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(2 * n + 1)]
for k in range(2, 2 * n + 1):
    for i1 in range(1, n + 1):
        for i2 in range(1, n + 1):
            j1, j2 = k - i1, k - i2
            if 1 <= j1 <= n and 1 <= j2 <= n:
                t = w[i1][j1]
                if i1 != i2:
                    t += w[i2][j2]
                f[k][i1][i2] = max(f[k - 1][i1][i2], f[k - 1][i1 - 1][i2], f[k - 1][i1][i2 - 1], f[k - 1][i1 - 1][i2]) + t
print(f[-1][-1][-1])

传纸条

题目描述：

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $[0,100]$ 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式：

第一行有两个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m\times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

数据范围：

$1\le m,n\le 50$。

样例输入：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

代码实现

大佬的题解：

import sys
input = sys.stdin.readline

m, n = map(int, input().strip().split())
w = [[0] * (n + 1)] + [[0] + list(map(int, input().strip().split())) for _ in range(m)]

f = [[[-0x3f3f3f3f] * (m + 1) for _ in range(m + 1)] for _ in range(m + n + 1)]
f[1][1][1] = 0
for k in range(2, m + n + 1):
    for i1 in range(1, m + 1):
        for i2 in range(1, m + 1):
            if 1 <= k - i1 <= n and 1 <= k - i2 <= n:
                t = w[i1][k - i1]
                if i1 != i2:
                    t += w[i2][k - i2]
                f[k][i1][i2] = max(f[k - 1][i1 - 1][i2], f[k - 1][i1][i2 - 1],
                                   f[k - 1][i1][i2], f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1]) + t
print(f[-1][-1][-1])