【组合数学】生成函数

1.形式幂级数

生成函数是解决计数问题的一种有效方法，它的中心思想是：对于一个有限或无限数列 $a_0,a_1,a_2,...$，用$\{x^i\}(i=0,1,...)$这样的生成基构成形式幂级数 $$A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...$$ 使 $\{a_i\}$ 与 $\{x^i\}$ 成一一对应关系，由此 $\{a_i\}$ 与 $\{x^i\}$ 构成了一个整体，通过研究幂级数 $A(x)$，导出数列$\{a_0,a_1,a_2,...\}$的构造和性质。
称 $A(x)$ 为序列 $\{a_0,a_1,a_2,...\}$ 的生成函数，并记为 $G(a_n)$

对于形式幂级数可以像收敛的幂级数那样进行运算，运算的定义和规则完全相同

定义 1.1：对于任意 $A(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$，规定 $DA(x)$ 为 $A(x)$ 的导数且 $DA(x)\equiv {\sum }_{k=0}^{\infty }k{a}_k{x}^{k-1}$

2.生成函数性质

一个数列和它的生成函数是一一对应的。 已知数列便得知它的生成函数（系数项确定）。同理求得生成函数，则数列也随之而定。
数列 $\{a_0,a_1,a_2,...\}$ 的生成函数为 $A(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$
数列 $\{b_0,b_1,b_2,...\}$ 的生成函数为 $B(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{b}_k{x}^k$
可以得到生成函数的如下一些性质

性质 2.1：若 $b_k=\{\begin{array}{cc}0& (k<l)\\ a_{k-l}& (k\ge l)\end{array}$ 则 $B(x)=x^l\cdot A(x)$

性质 2.2：若 $b_k=a_{k+l}$ ,则 $B(x)=\frac{1}{x^l}(A(X)-{\sum }_{k=0}^{l-1}{a}_k{x}^k)$

性质 2.3：若 $b_k={\sum }_{i=0}^k{a}_i$，则 $B(x)=\frac{A(x)}{1-x}$

性质 2.4：若 $b_k={\sum }_{i=k}^{\infty }{a}_i$，则 $B(x)=\frac{A(1)-xA(x)}{1-x}$

性质 2.5：若 $b_k=k{a}_k$，则 $B(x)=xA(x)$

性质 2.6：若 $b_k=\frac{a_k}{k+1}$，则 $B(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}A(t)dt$

性质 2.7：若 $c_k=\alpha a_k+\beta b_k$，则 $C(x)\equiv {\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k=\alpha A(x)+\beta B(x)$

数列	生成函数
{1,1,1,…}	$G\{1\}=\frac{1}{1-x}$
$\{a^0,a^1,a^2,...\}$	$G\{a^k\}=\frac{1}{1-ax}$
{0,1,2,…}	$G\{k\}=\frac{x}{(1-x{)}^2}$
$\{0\cdot 1,1\cdot 2,2\cdot 3,...\}$	$G\{k(k+1)\}=\frac{2x}{(1-x{)}^3}$
$\{0\cdot 1\cdot 2,1\cdot 2\cdot 3,2\cdot 3\cdot 4,...\}$	$G\{k(k+1)(k+2)\}=\frac{6x}{(1-x{)}^4}$
{0,1,4,…}	$G\{k^2\}=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$
{0,1,8,…}	$G\{k^3\}=\frac{x^3+4x^2+x}{(1-x{)}^4}$
$\{\frac{1}{0!},\frac{1}{1!},\frac{1}{2!},...\}$	$G\{\frac{1}{k!}\}=e^x$
$\{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{0}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{1}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{2}),...\}$	$G\{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})\}=(1+x{)}^{\alpha }$
$\{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+0}{0}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1}),(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2}),...\}$	$G\{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})\}=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$

习题1、 求序列{5, 6, 7, …, n + 5, …}的生成函数

习题2、 利用生成函数计算 $1^3+2^3+...+n^3$

3.生成函数求解递推关系

生成函数求解递推关系基本步骤如下：

1. 令 $A(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }f(n)x^n$
2. 将关于 $f(n)$ 的递推关系式转化成关于 $A(x)$ 的方程式
3. 解出 $A(x)$ ，将 $A(x)$ 展开成 x 的幂级数， $x^n$ 的系数即是 $f(n)$

习题3、 用生成函数求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=4f(n-2)\\ f(0)=0,f(1)=1\end{array}$

习题4、 用生成函数求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+9f(n-2)-9f(n-3)\\ f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2\end{array}$

习题5、 用生成函数求解递推关系$\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+n^2\\ f(0)=0\end{array}$

4.生成函数在计数问题中的应用